Уравнение Бернулли для идеальных жидкостей

Для вывода уравнения Бернулли необходимо преобразовать и проинтегрировать дифференциальные уравнения движения Эйлера, чтобы перейти от элементарного объёма ко всему объёму жидкости.

Сначала разделим обе части уравнений системы на ρ, получим:

 

-(δр/δх)·dx = d( w_x²/2),

-(δр/δу)·dy = d( w_y²/2),

-(ρg + (δр/δz))·dz = d( w_z²/2),

Сложим уравнения системы друг с другом (левые части с левыми, правые с правыми), получим:

-( (δр/δх)·dx + (δр/δу)·dy + (δр/δz)·dz) – gdz = d( w_x²/2) + d( w_y²/2) + d( w_z²/2),

 

Как видно, в скобках в левой части уравнения представлен полный дифференциал р по dр. Тогда:

 

-·dp – gdz = d( w²/2),

+ gdz + d( w²/2) = 0, (разделим обе части уравнения на g)

 

+ dz + d( w²/2g) = 0,

при постоянной температуре gp=const:

 

d(p/ρg)+ dz + d( w²/2g) = 0,

Проинтегрируем:

 

∫d(p/ρg+ z + w²/2g) =∫ 0