Дифференциальное уравнение неразрывности потока

Рассмотрим жидкость, текущую без пустот и разрывов и при отсутствии источников массы. Выделим в объёме жидкости элементарный параллепипед объёмом dV = dxdydz, рёбра которого ориентированы параллельно осям координат.

 

 

 

Левая грань: площадь грани dS = dydz,

составляющая скорости потока вдоль оси х в точках, лежащих на левой грани, - w_x ,

массовый расход жидкости: M=wSρ.

Тогда через эту грань в параллепипед войдёт вдоль оси x за единицу времени масса жидкости ρw_xdydz, а за промежуток времени dτ - масса жидкости М_х = ρw_xdydzdτ

Правая грань: скорость w_x + (δ w_x/δx)dx;

плотность ρ + (δ ρ/δx)dx.

Тогда через правую грань за время dτ выйдет масса жидкости

М_{х + dx} = [ρw_x +(δ(ρw_x )/δx)dx] dydzdτ

Приращение массы жидкости в параллепипеде вдоль оси х

dM _x = M_x - М_{x+ dx} = - (δ(ρw_x )/δx)dxdydzdτ.

Аналогично:

dM _y = - (δ(ρw_y)/δy)dxdydzdτ

dM _z = - (δ(ρw_z )/δz)dxdydzdτ

Общее накопление массы жидкости (dM) в параллепипеде за время dτ равно сумме её приращений вдоль всех осей координат:

dM = - (δ(ρw_x )/δx + δ(ρw_y)/δy + δ(ρw_z )/δz) dxdydzdτ (1)

Вместе с тем изменение массы в полностью заполненном жидкостью объёме параллепипеда возможно только вследствие изменения плотности жидкости в этом объёме, то есть

dM = (δρ/δτ) dxdydzdτ (2)

Приравнивая оба выражения для dM (1) и (2), сокращая на (- dxdydz) и перенося δρ/δτ в левую часть уравнения, получим:

δρ/δτ + δ(ρw_x )/δx + δ(ρw_y)/δy + δ(ρw_z )/δz = 0 (3) –

это дифференциальные уравнения неразрывности потока для неустановившегося движения сжимаемой жидкости. В установившемся потоке плотность не изменяется во времени, т. е. δρ/δτ = 0 и уравнение (3) принимает вид:

δ(ρw_x )/δx + δ(ρw_y)/δy + δ(ρw_z )/δz = 0 (4).

Для капельных жидкостей ρ = const, поэтому

ρ(δw_x /δx + δw_y/δy + δw_z /δz) = 0 (5),

ρ≠0, поэтому

δw_x /δx + δw_y/δy + δw_z /δz = 0 (6) -

дифференциальное уравнение неразрывности потока несжимаемой жидкости.

Чтобы перейти ко всему объёму жидкости, проинтегрируем уравнение (5), принимая, что площадь сечения трубопровода переменна. Получаем

ρwS = const (7) -

это уравнение неразрывности (сплошности) потока в интегральноц форме для установившегося движения. Для трёх различных сечений трубопровода уравнение сплошности принимает вид: ρ₁w₁S₁ = ρ₂w₂S₂ = ρ₃w₃S₃ , М₁ = М₂ = М₃, т. е. при установившемся потоке, полностью заполняющем трубопровод, через каждое поперечное сечение проходит в единицу времени одна и та же масса жидкости. Поэтому уравнение (7) называют также уравнением постоянства расхода и оно является частным случаем закона сохранения массы и выражает материальный баланс потока. Для несжимаемых жидкостей ρ = const, поэтому уравнение (7) принимает вид:

wS = const (8).