Сложение колебаний одинакового направления
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний и одинаковой частоты. Смещение х колеблющегося тела будет суммой смещений xl и х2, которые запишутся следующим образом:
(2.1.57)
Представим оба колебания с помощью векторов и (рис. 2.1.11). Построим пo правилам сложения векторов результирующий вектор . Легко видеть, что проекция этого вектора на ось Х равна сумме проекций слагаемых векторов:
Следовательно, вектор представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью , как и так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой , амплитудой А и начальной фазой α. Из построения видно, что
(2.1.58)
Итак, представление гармонических колебаний посредством векторов дает возможность свести сложение нескольких колебаний к операции сложения векторов.
Этот прием бывает особенно полезен, например, в оптике, где световые колебания в некоторой точке определяются как результат наложения многих колебаний, приходящих в данную точку от различных участков волнового фронта.
Проанализируем выражение (2.1.58) для амплитуды. Если разность фаз обоих колебаний равна нулю, амплитуда результирующего колебания равна сумме . Если разность фаз равна +л или - π, т. е. оба колебания находятся в противо-фазе, то амплитуда результирующего колебания равна разности .
Рис.2.1.11.Сложение колебаний одинакового направления
Если частоты колебаний х1 и х2 неодинаковы, векторы и будут вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий вектор пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью. Следовательно, результирующим движением будет в этом случае не гармоническое колебание, а некоторый сложный колебательный процесс - биения.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Допустим, что материальная точка может совершать колебания как вдоль оси Х, так и вдоль перпендикулярной к ней оси у. Если возбудить оба колебания, материальная точка будет двигаться по некоторой, вообще говоря, криволинейной траектории, форма которой зависит от разности фаз обоих колебаний.
Выберем начало отсчета времени так; чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:
(2.1.59)
где α— разность фаз обоих колебаний.
Выражения (2.1.59) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по которой движется тело, участвующее в обоих колебаниях. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (2.1.59) параметр t. Из первого уравнения следует, что
(2.1.60)
Следовательно,
(2.1.61)
Теперь развернем косинус во втором из уравнений (2.1.59) по формуле для косинуса суммы, подставляя при этом вместо и их значения (2.1.60)и (2.1.61). В результате получим
(2.1.62)
Последнее уравнение после несложных преобразований можноv ч привести к виду
(2.1.63)
Из аналитической геометрии известно, что уравнение (2.1.63) есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей х и у произвольно. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят довольно сложным образом от амплитуд А и В и разности фаз α.
Исследуем форму траектории в некоторых частных случаях.
1. Разность фаз α равна нулю. В этом случае из уравнения (2.1.63) получается уравнение прямой линии
(2.1.64)
Колеблющаяся точка перемещается по этой прямой, причем расстояние ее от начала координат равно
Подставляя сюда выражения (2.1.59) для х и у и учитывая, что α = 0, получим закон, по которому r изменяется cо временем:
(2.1.65)
Из (2.1.65)следует, что результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль прямой с частотой и амплитудой, равной (рис. 2.1.12 а ).
2. Разность фаз α равна . Уравнение (2.1.63) будет иметь вид
(2.1.66)
откуда получается, что результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой (рис. 2.1.12 б)
а б
Рис 2.1.12. Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний с разностью фаз
3. Разность фаз α равна . При уравнение (2.1.63) переходит в (2.1.67)
т. е. в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний (рис.2.1.13 слева). При равенстве амплитуд А и В эллипс вырождается в окружность.
Из сказанного следует, что равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью ω может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:
(2.1.68)
(знак «+» в выражении для «у» соответствует движению против часовой стрелки, знак «—» — движению по часовой стрелке).
В случае, когда частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются на очень малую величину Δω, их можно рассматривать как колебания одинаковой частоты, но с медленно изменяющейся разностью фаз. В самом деле, уравнения колебаний можно представить следующим образом:
(2.1.69)
и выражение (Δω+α) рассматривать как разность фаз, медленно изменяющуюся со временем по линейному закону.
Рис.2.1.13. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
с разностью фаз .
Результирующее движение в этом случае происходит по медленно видоизменяющейся кривой, которая будет последовательно принимать форму, отвечающую всем значениям разности фаз от –π до +л. Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. На рис. 2.1.13 (справа) показана одна из простейших траекторий, получающаяся при отношении частот 1 : 2 и разности фаз π/2.