Способы задания движения материальной точки в кинематике. Основные кинематические параметры: траектория, путь, перемещение, скорость, нормальное, тангенциальное и полное ускорения. Движение материальной точки в однородном гравитационном поле.
Кинематика вращательного движения абсолютно твердого тела. Угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение и их связь с линейными параметрами.
Как указывалось выше, основным способом задания движения материальной точки в пространстве является описание её координат.
Пусть материальная точка переместилась из точки A в точку B (рис.1.2.1). Последовательные положения этой материальной точки создают непрерывную кривую, называемую траекторией, показанную пунктирной линией. Длина траектории называется пройденным путём.
| A |
| x |
| y |
| z |
| O |
| Рисунок 1.2.1. Изменение положения материальной точки в пространстве |
| B |
Вектор , начинающийся в начальном положении материальной точки (точке A) и заканчивающийся в её конечном положении (точке B) называется вектором перемещения материальной точки. Поскольку вектор есть направленный отрезок прямой, а прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками, то . Из рис. 1.2.1 видно, что . Здесь и далее разность между конечным и начальным значением любого параметра (в данном случае, радиус-вектора) будет обозначаться символом Δ, то есть .
Вспомним, что весь процесс движения происходит во времени. Соответственно, пусть в момент времени t положение материальной точки характеризуется радиус-вектором (рис. 1.2.2). За бесконечно малое приращение времени dt происходит перемещение материальной точки на . Поскольку это перемещение бесконечно мало, то отличие траектории от прямой также бесконечно мало и . Если ввести понятие орта траектории – единичного вектора в направлении движения, то можно записать и вектор приращения траектории . Из рис. 1.2.2 видно, что . Из того же рис. 1.2.2 видно, что и .
| O |
| Рисунок 1.2.2. Изменение положения материальной точки в пространстве за бесконечно малый промежуток времени dt |
| A |
| x |
| y |
| z |
| B |
Изменение положения тела происходит во времени, поэтому в физике вводят величины, характеризующие быстроту таких изменений. Если тело из точки A переместилось в точку B, а время при этом изменилось на величину Δt, то быстроту движения тела можно описать с использованием нескольких разных параметров, именуемых скоростями.
Средний модуль скорости показывает, какой путь в среднем проходит тело за единицу времени. В разных книгах среднее значение какой-либо величины обозначают по-разному: .
Средний вектор скорости есть отношение вектора перемещения к изменению времени: . Видно, что средний модуль скорости всегда не больше модуля среднего вектора скорости.
Обе величины средней скорости описывают поведение тела интегрально за всё время движения. Для того, чтобы более детально рассмотреть движение тела в каждый момент времени, вводят понятие мгновенной скорости, то есть скорости в мгновение, когда время равнялось t. Мгновенный модуль скорости . Вектор мгновенной скорости . Вспомнив, что , автоматически получаем, что и . Видно, что вектор скорости сонаправлен с ортом траектории, то есть орт скорости совпадает с ортом траектории: .
В системе СИ скорости измеряются в м/с.
Исходя из определения скорости , где – радиус-вектор в момент времени t, t0 – начало отсчета времени. Поскольку пройденный путь и перемещение , то и . Если в промежутке времени от t0 до t1 модуль скорости не менялся (v(t) = v = const), то такое движение называется равномерным, и вычисление пройденного пути упрощается: Если же в указанном промежутке времени не менялось направление вектора скорости, то такое движение называется прямолинейным. Если движение было и равномерным, и прямолинейным, то , а .
Скорости тел также могут зависеть от времени. Для описания этой зависимости введено понятие ускорения – быстроты изменения мгновенной скорости. В системе СИ ускорения измеряются в м/с2. Среднее значение вектора ускорения , мгновенное – . Видно, что вектор полного мгновенного ускорения состоит из двух слагаемых, первое из которых связано с быстротой изменения направления скорости и не зависит от быстроты изменения модуля скорости , а второе – наоборот. При этом первое слагаемое направлено вдоль направления приращения орта траектории (орта скорости), а второе – с самим ортом траектории (ортом скорости) в данной точке траектории. Рассмотрим направление первого слагаемого (рис. 1.2.3) подробнее.
траектория
Рисунок 1.2.3. Изменение положения материальной точки и орта траектории за бесконечно малый промежуток времени dt
Перенесем параллельным переносом вектор в точку начала вектора (рис.1.2.4). Орты по определению имеют одинаковый модуль, поэтому получающийся треугольник со сторонами , и – равнобедренный и углы напротив сторон и равны между собой. Поскольку модуль вектора бесконечно малый, то угол dφ – стремится к нулю и остальные углы этого треугольника стремятся к π/2 радиан или 900. Следовательно, вектора и перпендикулярны. А значит, и перпендикулярно .
dφ
Рисунок 1.2.4. Приращение орта траектории за бесконечно малый промежуток времени dt
Таким образом, два слагаемых, входящих в выражение для полного ускорения взаимно перпендикулярны (рис. 1.2.5). При этом одно из них, , называемое тангенциальным ускорением, при увеличении модуля скорости ( ) совпадает по направлению с вектором скорости, а при уменьшении модуля скорости ( ) – направлено противоположно вектору скорости. Другое слагаемое , всегда направлено перпендикулярно к вектору скорости в ту сторону, куда загибается траектория. Поскольку греческое слово перпендикуляр на латынь переводится как нормаль, то такое ускорение называют нормальным.
| Рисунок 1.2.5. Взаимосвязь полного , нормального и тангенциального ускорений при движении материальной точки |
| траектория |
Теперь необходимо найти модуль нормального ускорения. Поскольку и пройденный путь, и перемещение бесконечно малы (рис. 1.2.6), то можно считать, что движение идёт по окружности радиуса R. Отсюда следует, что по модулю dR = R·dφ. Кроме того, (так как ).
| O |
| dφ |
| dφ |
| Рисунок 1.2.6. К определению модуля вектора нормального ускорения |
Поскольку , то получаем:
С учетом, что получаем, что .
Величина R носит название радиуса кривизны траектории. Точка O называется центром кривизны траектории, а величина, обратная радиусу кривизны – кривизной траектории. Кривизна траектории в системе СИ измеряется в м‑1.
Таким образом, . Поскольку , то .
Поскольку , то , где – скорость в момент времени t1, t0 – начало отсчета времени. Поскольку , то .
При описании движения тел выделяют два частных случая – когда в ходе движения не меняются либо и модуль, и направление вектора полного ускорения , либо модуль вектора тангенциального ускорения aτ.
В случае, когда :
В случае, когда :
К сожалению, исторически сложилось, что оба этих частных случая носят одинаковое название – равноускоренное движение. В некоторых книгах такие виды движения называют равнопеременным движением тел – но, опять же, одно и то же название применяют к двум разным случаям! Поэтому при решении конкретных задач надо всегда аккуратно выяснять, какой именно случай имеется в виду.
Основной метод решения всех задач кинематики – использование уравнений движения. Уравнение движения – это зависимость радиус-вектора (то есть, координат) от времени. В качестве примера рассмотрим задачу о равноускоренном (в смысле ) движении материальной точки под действием силы тяжести (рис. 1.2.7). Постоянное ускорение в данном случае – это ускорение свободного падения . Пусть в момент начала отсчёта времени материальная точка была брошена с высоты h со скоростью v0, направленной под углом α к горизонту.
| Рисунок 1.2.7. Движение материальной точки, брошенной под углом к горизонту. |
Поскольку в данном случае для всего времени движения t, то
.
Исходя из полученных зависимостей координат и скоростей от времени, можно определить все необходимые величины. Например, время падения τ рассчитывается из условия Ry(τ) = 0, дальность полёта L – из условия L = Rx(τ) и т.п.
Один из видов криволинейного движения – движение по окружности (рис. 1.2.8). В процессе такого движения модуль радиус-вектора не меняется. Следовательно, не меняется и кривизна траектории. Поэтому, для того, чтобы однозначно описать положение точки B на этой окружности, достаточно указать угол φ между направлением её радиус-вектора и радиус-вектора некоей фиксированной точки A. В системе СИ все углы измеряются в радианах. Если считать точку A точкой начала движения, то пройденный путь ℓ равен длине дуги AB. Следовательно, .
| O |
| A |
| B |
| φ |
| Рисунок 1.2.8. Движение материальной точки по окружности |
Чтобы полностью охарактеризовать поворот, необходимо указать направление оси вращения – то есть задать орт оси вращения . Направление выбирают так, чтобы с конца этого вектора поворот от начала движения к концу был виден как поворот против часовой стрелки – то есть по правилу буравчика (правого винта). На рис. 1.2.8 направлен перпендикулярно тексту в сторону читателя. Объединение направления вращения и модуля угла поворота дает вектор угла поворота: .
Поскольку вектор угла поворота описывает положение тела в пространстве, он может служить набором координат. Следовательно, изменение угла поворота с течением времени можно описывать с помощью понятия угловой скорости: . Быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ускорением: .
В настоящем курсе мы, как правило, будем рассматривать случай вращения в неизменной плоскости – то есть ситуацию, когда , и лежат вдоль одной оси, перпендикулярной плоскости, в которой находятся радиус-векторы всех точек окружности.
Найдем взаимосвязь линейных и угловых координат. Если рассматривать движение за бесконечно малое время dt, то и угол поворота dφ будет бесконечно малым. В этом случае пройденный путь dℓ становится равным (по модулю) перемещению ds. Из определения вектора видно, что . Поскольку линейная скорость , то
Ускорение
поскольку из рис. 1.2.6
Исходя из направления слагаемых полного ускорения видно, что первое – это тангенциальное ускорение
а второе – нормальное ускорение
При вращении абсолютно твердого тела различные его точки могут обладать разными величинами линейных скоростей и ускорений, но величины угловых скоростей и ускорений для всех точек такого тела будут одинаковыми.