Основное уравнение динамики вращательного движения абсолютно твердого тела. Момент силы. Момент импульса относительно точки и оси. Момент инерции твердого тела относительно главных и произвольных осей. Теорема Штейнера.
Центр инерции
Рассмотрим систему материальных точек (рис. 1.4.1). Точка с координатами называется центром инерции или центром масс этой системы.
| N |
| i |
| C |
| Рисунок 1.4.1. К выводу положения центра инерции C системы, состоящей из N материальных точек. |
| y |
| x |
Если надо найти центр инерции твёрдого тела (рис. 1.4.2), то это тело надо разбить на бесконечно малые объемы dV массой dm и заменить суммирование интегрированием:
| Рисунок 1.4.2. К выводу формулы центра инерции С абсолютно твёрдого тела массой m и плотностью ρ относительно оси AB. Радиус-вектор бесконечно малого объёма dV массой dm, обозначенного кубиком, равен . |
| y |
| x |
| С |
Основное уравнение динамики вращательного движения абсолютно твердого тела
Рассмотрим материальную точку массой m, которая находится в точке пространства с радиус-вектором (рис.1.4.3), движущуюся со скоростью . Её импульс . Пусть на это тело действует сила .
| O |
| A |
| Рисунок 1.4.3. К выводу основного уравнения динамики вращательного движения. |
Введем понятия: момент силы относительно точки O: и момент импульса относительно точки O: . На рис. 1.4.3 вектора и направлены перпендикулярно поверхности рисунка в сторону от читателя.
Если взять производную от момента импульса по времени:
С учётом, что , получаем . По второму закону Ньютона , поэтому получаем: . Это уравнение носит название основного уравнения вращательного движения. Оно выполняется как для одной материальной точки, так и для любого абсолютно твёрдого тела, поскольку такое тело можно считать состоящим из многих материальных точек.
Моментом импульса тела относительно какой-либо оси называется проекция момента импульса относительно какой-либо точки указанной оси на эту ось.
Момент инерции твердого тела
Пусть тело A массой m движется по окружности радиуса R (рис. 1.4.4) с линейной скоростью . Момент импульса этого тела , где – угловая скорость движения тела A по окружности. Если радиус окружности не меняется, то и величина I=mR2 тоже не меняется. Следовательно, , где – угловое ускорение. Видно, что получающиеся формулы очень похожи на выражения для импульса и для второго закона Ньютона соответственно, только вместо линейной скорости и ускорения используются угловые скорость и ускорение, а вместо массы – величина I=mR2, именуемая моментом инерции материальной точки.
| A |
| Рисунок 1.4.4. К выводу выражения для момента инерции материальной точки |
Если тело нельзя считать материальной точкой, но можно считать абсолютно твердым, то его момент инерции можно считать суммой моментов инерции бесконечно малых его частей, поскольку угловые скорости вращения этих частей одинаковы (рис. 1.4.5). Сумма бесконечно малых – интеграл:
| A |
| B |
| Рисунок 1.4.5. К выводу момента инерции абсолютно твёрдого тела плотностью ρ относительно оси AB. Бесконечно малый объём dV массой dm, обозначенный кубиком, находится на расстоянии от оси вращения. |
Для любого тела существуют оси, проходящие через его центр инерции, обладающие таким свойством: при вращении тела вокруг таких осей в отсутствии внешних воздействий оси вращения не меняют своего положения. Такие оси называются свободными осями тела. Можно доказать, что для тела любой формы и с любым распределением плотности существуют три взаимно перпендикулярные свободные оси, именуемые главными осями инерции тела (рис. 1.4.6). Моменты инерции тела относительно главных осей именуются главными моментами инерции тела.
| С |
| Рисунок 1.4.6. Главные оси инерции твёрдого тела (третья главная ось проходит через центр инерции C и перпендикулярна плоскости рисунка. |
Главные моменты инерции некоторых тел:
1.4.3. Теорема Гюйгенса-Штейнера.
Момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку O и перпендикулярной плоскости рис. 1.4.7 . Поскольку , . Отсюда . Поскольку для всех микрообъёмов , то . Заметим, что, во-первых, ; во-вторых, , поскольку это координаты момента инерции тела в системе отсчёта, связанной с этим телом; и, в-третьих, – моменту инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной заданной оси. Итого получаем:
.
Это выражение носит название теоремы Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме моменту инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
| Рисунок 1.4.7. К доказательству теоремы Гюйгенса-Штейнера. Оси проходят через точки O и C перпендикулярно плоскости рисунка. |
| С |
| O |