Законы распространения упругих волн в твердых телах вытекают из общих уравнений движения однородной упруго деформированной среды:
,
где ρ – плотность среды; ui – компоненты вектора упругого смещения; σik = ciklmεlm – тензор напряжений; - тензор деформации; ciklm – тензор упругих модулей.
Отсюда следует, что вектор упругого смещения удовлетворяет волновому уравнению вида:
.
Если искать решение этого уравнения в виде плоской монохроматической волны
,
то ему можно придать вид:
,
где - тензор приведенных упругих модулей; - единичный вектор волновой нормали; c = ω/k – фазовая скорость упругой волны.
Полученное уравнение является основным для всей теории упругих волн в твердых телах, и носит название уравнения Кристоффеля. Из него, в частности, следует, что в анизотропных твердых телах (кристаллах) по любому направлению могут распространяться три упругие волны, которые в общем случае не являются ни чисто продольными, ни чисто поперечными. Фазовые скорости их также различны.
Изотропные твердые тела характеризуются только двумя упругими модулями – модулем Юнга E и модулем сдвига G. В таких телах две из трех упругих волн всегда являются чисто поперечными и имеют одинаковуюфазовую скорость ct; третья волна является чисто продольной и имеет свою фазовую скорость cl > ct. В данном случае исходное волновое уравнение распадается на два независимых волновых уравнения для двух поперечных волн и одной продольной волны :
; ,
где -фазовая скорость поперечной волны; - фазовая скорость продольной волны.
Как и электромагнитные волны, упругие волны переносят энергию и импульс. Перенос энергии в упругой волне осуществляется за счет потока вектора Умова , аналогичного вектору Пойнтинга , и имеющему смысл плотности потока энергии. Дифференциальное уравнение закона сохраненияэнергии для упругого поля имеет аналогичный вид:
,
где
-
плотность энергии упругой волны, которая слагается из кинетической энергии колеблющихся частиц среды и потенциальной энергии упругой деформации;
-
компоненты вектора Умова (Умов Н.А., 1846-1915).
Альтернативный подход к описанию закономерностей распространения упругих волн в кристаллах основан на представлении первичного волнового уравнения второго порядка системой дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка от вектора смещения (Наими Е.К., Хзарджян С.М., 1978). При этом уравнения дляпоперечныхкомпонент вектора смещения оказываются полностью аналогичными уравнениям Максвелла для электромагнитного поля в вакууме, а для продольных компонент – аналогичными уравнениям плазменных колебаний. Соответствующие уравнения записываются в виде:
для поперечных компонент
для продольных компонент
Преимуществом данного подхода является то, что он открывает возможность исследования упругих волновых процессов в кристаллах на основе математического аппарата, разработанного в электродинамике сплошных сред.