Закон сохранения и превращения энергии колебаний пружинного маятника (рис. 2.1.2):
ЕРmax = ЕР + EK = EKmax, (2.1.3)
где ЕРmax и EKmax – амплитудные значения потенциальной и кинетической энергий, соответственно.
Рисунок 2.1.2. Энергетика колебаний пружинного маятника
При малых отклонениях от положения равновесия изменением потенциальной энергии материальной точки в однородном поле тяготения можно пренебречь.
Рассмотрим превращение энергии за половину периода колебания:
,(2.1.4)
где , x – мгновенное значение отклонение маятника от положения равновесия, а xm – максимальное значение этого отклонения.
Отсюда
.
После разделения переменных и интегрирования получаем:
,
откуда
.(2.1.5)
Если в начальный момент времени t = 0 смещение x0 = , то и решение интегрального уравнения имеет вид:
.(2.1.6)
Амплитуда определяется начальным запасом энергии и не зависит от параметров колебательной системы.
Собственная циклическая (круговая) частота зависит от параметров колебательной системы:
.(2.1.7)
Период собственных колебаний: T0.
Линейная частота: n0.
Фаза колебания: Ф = w0t определяет значение смещения х в данный момент времени.
Если в момент времени t = 0 смещение , то фаза колебания
Ф = w0t + j,(2.1.8)
где j – начальная фаза колебания.
уравнение гармонических колебаний пружинного маятника:
.(2.1.9)