Аксиоматический метод является как методом обоснования, так и методом развития содержания математики. Действительно, когда доказана непротиворечивость системы аксиом и их взаимная независимость, аксиоматика возвращается к исходному пункту, т.е. к фактическому содержанию теорий, давших толчок к ее зарождению. При этом аксиоматика становится методом развития содержания как породивших ее, так и новых, обязанных ей своим зарождением теорий.
Допустим, что Аi и А 2 - две какие-либо изоморфные интерпретации некоторой, заданной формально системы аксиом В. Каждая теорема, доказанная только с помощью В относительно объектов интерпретации A1, в тех же терминах, но с иным, в зависимости от явно выраженных элементов, содержанием, справедлива относительно соответственных объектов интерпретации А2, и обратно. Иначе говоря, доказываемые теоремы обладают всеобщностью, благодаря чему нет необходимости передоказывать их для объектов каждой интерпретации отдельно. Проективное пространство может быть изоморфно отображено на самого себя с превращением точек в плоскости и обратно. Благодаря этому имеет место принцип двойственности, творческое значение которого хорошо знакомо всякому изучавшему проективную геометрию.
При аксиоматическом изучении объектов и отношений между ними существенную роль играет разработка регулярных методов - алгоритмов (как иногда говорят - конструктивных методов), позволяющих по определенным правилам решать вопросы, относящиеся к изучаемым объектам и отношениям. Современный аксиоматический метод позволяет переносить алгоритмы одной теории в другие теории и тем способствовать их развитию. Например, в геометрии точки не индивидуализированы, благодаря чему чрезвычайно затруднительна разработка алгоритмов, с помощью которых можно решать вопросы, относящиеся к свойствам множеств точек прямой. Напротив, каждое действительное число индивидуализировано. Зная, что множество точек прямой (в их обычном расположении) изоморфно множеству всех действительных чисел, мы можем - так постоянно и поступают - заменить вопросы, относящиеся к свойствам множеств точек, вопросами, относящимися к свойствам соответственных множеств действительных чисел, и решать их с помощью алгоритмов учения о действительных числах. В этом факте заключена основная причина, обусловливающая способность аналитической геометрии решать такие проблемы, решение которых не под силу элементарной геометрии.
Если из непротиворечивой системы аксиом исключить, а потом добавить, некоторые новые аксиомы, то полученные системы аксиом, в случае их непротиворечивости, определяют новые теории, изучение которых очень часто освещает с новой стороны положения исходной теории. Если непротиворечивая система А содержит п взаимно независимых аксиом, то все теоремы, которые можно доказать с помощью n-k этих аксиом, справедливы во всякой теории, содержащей эти п- k аксиом. Так, когда Гильберт показал, что для обоснования учения о площадях нет необходимости привлекать аксиому Архимеда, тем самым было доказано, что учение о площадях одинаково как для Евклидовой, так и для неархимедовой геометрий. Если непротиворечивые системы А и В содержат по n-1 одинаковых аксиом, а их п-е аксиомы противоположны, то и доказанные в А и В с n-ми аксиомами теоремы будут противоположны.
Это весьма важный факт. Зная, что теорема о сумме углов треугольника, утверждение существования подобных треугольников и т.п. эквивалентны аксиоме параллельных, и зная, что гиперболическая геометрия отличается от Евклидовой только аксиомой о параллельных, мы сразу можем сказать, что в гиперболическом пространстве нет подобных фигур и что сумма углов треугольника не равна 2d.
Таким образом, действенная сила аксиоматического метода заключается в том, что, во-первых, он расширяет число и объем математических дисциплин и, во-вторых, связывает воедино такие теории, которые первоначально казались совершенно обособленными.