Открываются «начала» определением основных понятий и формулировками некоторых основных положений геометрии - постулатов и аксиом, принимаемых без доказательства (их всего 14) и являющихся основой всякого доказательства, причем, чертежи и рисунки, по замыслу Евклида, должны были играть исключительно вспомогательную роль. Вопрос решает не чертеж, а логика дедуктивного доказательства. Всякое геометрическое предложение, как бы оно просто ни выглядело, должно быть доказано, т.е. выведено дедуктивным путем как следствие из ранее предпосланного списка аксиом и постулатов. Все они составляют систему аксиом«Начал» Евклида (аксиоматику Евклида).
Остановимся более подробно на первой книге. Она начинается с определений. У Евклида явно не выделены неопределяемые понятия, что, с нашей точки зрения, является недостатком. Они приводятся в общем списке вместе с определениями других фигур. Перечислим определения первой книги.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1. Точка есть то, что не имеет частей.
2. Линия же - длина без ширины.
3. Концы же линии - точки.
4. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к
точкам на ней.
5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.
6. Концы же поверхности - линии.
7. Плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней.
8. Плоский же угол есть наклонение друг к другу двух линий, в плоскости встречающихся друг с другом, но не расположенных по прямой.
9. Когда же линии, содержащие угол, прямые, то угол называется прямолинейным.
10. Когда же прямая, восставленная на прямой, образует рядом углы, равные между собой, то каждый из равных углов есть прямой, а восставленная прямая называется перпендикуляром к той, на которой она восставлена.
11. Тупой угол - больший прямого.
12. Острый же - меньший прямого.
13. Граница есть то, что является оконечностью чего-либо.
14. Фигура есть то, что содержится внутри какой-нибудь или каких-нибудь границ.
15. Круг есть плоская фигура, содержащаяся внутри одной линии (которая называется окружностью), на которую все из одной точки внутри фигуры падающие прямые равны между собой.
16. Центром же круга является эта точка.
17. Диаметр же круга есть какая угодно прямая, проведенная через центр и ограничиваемая с обеих сторон окружностью круга, она же и рассекает круг пополам.
18. Полукруг же есть фигура, содержащаяся между диаметром и отсекаемой им частью окружности. Центр же полукруга - то же самое, что и у круга.
19. 11рямолинейные фигуры суть те, которые содержатся между прямыми, трехсторонние - между тремя, четырехсторонние же - четырьмя, многосторонние же которые содержатся между более чем четырьмя прямыми.
20. Из трехсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные стороны, равнобедренный же - имеющая только две равные стороны, разносторонний же - имеющий три неравные стороны.
21. Кроме того, из трехсторонних фигур прямоугольный треугольник есть имеющий прямой угол, тупоугольный же - имеющий тупой угол, а остроугольный - имеющий три острых угла.
22. Из четырехсторонних фигур квадрат есть та, которая и равносторонняя и прямоугольная, разносторонний же - прямоугольная, но не равносторонняя, - равносторонняя, но не прямоугольная, ромбоид (параллелограмм) - имеющая противоположные стороны и углы, равные между собой, но не являющаяся ни равносторонней ни прямоугольной. Остальные же четырехсторонники будем называть трапециями.
23. Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той ни с другой стороны между собой не встречаются.
В определениях используются понятия границы, длины, ширины и т.п., которые сами нуждаются в определениях. Первые определения не используются в дальнейшем. В них делается попытка наглядно описать основные геометрические объекты. Интересно сравнить определения Евклида с определениями тех же фигур, которые мы встречаем в наших учебниках.
ПОСТУЛАТЫ Допустим:
1. Что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
2. И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой.
3. И что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.
4. И что все прямые углы равны между собой.
5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ (АКСИОМЫ)
1. Равные одному и тому же равны и между собой.
2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.
3. И если от равных отнимаются равные, то и остатки равны.
4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.
5. И удвоенные одного и того же равны между собой.
6. И половины одного и того же равны между собой.
7. И совмещающиеся друг, с другом равны между собой.
8. И целое больше части.
9. И две прямые не содержат пространства.
Из сопоставления постулатов и аксиом можно сделать заключение, что постулаты - это те же аксиомы, но только геометрического содержания, и обслуживают только геометрию, тогда как большинство аксиом выходит за пределы геометрии и имеет приложение в других областях математики и даже вне ее (например, физика). Действительно, аксиома «Целое больше своей части» одинаково применима и в геометрии и в других областях знаний.
Во времена Евклида разница между постулатами и аксиомами ощущалась значительней. С современной точки зрения существенной разницы между понятиями «постулат» и «аксиома» нет. Между теми и другими можно смело поставить знак тождества, так как постулаты и аксиомы - суть геометрические предложения, принимаемые без доказательства. Несущественную разницу можно обнаружить, если внимательно рассмотреть те и другие.
Недостатки «Начал» Евклида с точки зрения современного аксиоматического метода.
Строгость дедуктивного доказательства, реализованного в «Началах» Евклида, значительно уступает той неукоснительной строгости, которой пользуется современный аксиоматический метод.
Самым слабым местом в «Началах» являются определения геометрических понятий, списком которых начинается каждая из тринадцати книг. Сразу же бросается в глаза, что Евклид не выделяет основных понятий, как это требуется современным аксиоматическим методом. Поэтому создается впечатление, что он пытается определить буквально все геометрические понятия, с которыми ему приходится иметь дело в первой книге, даже «точку», «прямую» и «плоскость», что при аксиоматическом построении геометрии принято считать основными понятиями.
Евклидовы определения точки, прямой и плоскости не являются логически правильными. Рассмотрим с этой стороны хотя бы определение точки: «Точка есть то, что не имеет частей». Здесь имеется видимость (подчеркиваем,— только видимость!) прямого определения. Логика правильных определений требует, чтобы геометрическое понятие определялось через ближайшее геометрическое родовое понятие. Геометрическое понятие «точка» Евклид старается определить через очень широкое понятие «то», выходящее далеко за пределы геометрии, так как под словом «то» можно понимать все, что угодно, например корову, телеграфный столб и проч. Следовательно, слово «то» никак нельзя считать родовым понятием слова «точка». Примерно то же можно сказать относительно видового признака «часть». Что это - основное понятие? Нет. Евклид, как мы знаем, вообще не выделял основных понятий. Однако это слово «часть» Евклид и не определяет. Выходит, что Евклид неизвестное определяет через неизвестное, которое само требует для себя определения.
Примерно те же рассуждения о логической несостоятельности можно повторить и для евклидовых определений прямой и плоскости. Относительно «определений» последних двух геометрических понятий надо еще добавить, что они двусмысленны, т.е. далеко не однозначны. Например, в определении прямой говорится: «Прямая есть линия, которая одинаково расположена относительно всех своих точек». Но разве окружность не удовлетворяет этому условию? Вообще под это определение подходит любая линия постоянной кривизны. А логически правильное определение никак не может быть двусмысленным.
Вторым большим недостатком «Начал» Евклида является неполнота его аксиоматики. Евклид, как указывалось выше, сформулировал 14 аксиом (включая и постулаты). Этот список, как показывает анализ доказательства уже самой первой теоремы о существовании равностороннего треугольника, который можно построить на данном отрезке первой книги «Начал», далеко не полный.
Например, с помощью евклидовой аксиоматики невозможно обосновать такие важнейшие понятия геометрии, как расположение точки прямой между двумя другими точками этой же прямой, расположение точек по одну или по разные стороны от прямой (на это обратил внимание Гаусс). Фактически Евклид постоянно пользуется этими понятиями, но в списке его постулатов и аксиом нет утверждений, на которые он мог бы сослаться.
Для безупречного доказательства Евклиду также не хватает аксиомы непрерывности, которую заменяет ему наглядность чертежа. И это у него наблюдается довольно часто. Каждую нехватку в системе аксиом он старается пополнить молчаливой ссылкой на наглядность чертежа, т.е. на нашу интуицию, что неминуемо ведет к логическим изъянам.
Далее, равенство фигур (аксиома VII) опирается на понятие движения. Между тем в «Началах» об этом понятии ничего не сказано и свойства движения в аксиоматике Евклида отсутствуют. Наконец, в списке постулатов и аксиом Евклида полностью отсутствуют утверждения, которые бы обосновывали, например, тот факт, что если прямая проходит через точку внутри окружности, то она пересекает окружность в двух точках (на это обратил внимание Лейбниц). Таким образом, с современной точки зрения «Начала» Евклида не дают безупречного логического обоснования геометрии.
Многие ученые древности, жившие после Евклида, дополняли «Начала» комментариями, в которых не прекращались попытки уточнить аксиоматику Евклида. Так, Архимед расширил аксиоматику Евклида, добавив известную аксиому, обосновывающую процесс измерения длин. Было замечено, что IV постулат является лишним, так как его утверждение может быть доказано.
Однако на протяжении двадцати веков никто не прибавил к обоснованию геометрии чего-либо принципиально нового.