Исследования Швейкарта и Тауринуса.Первыми, кто вполне сознательно подошел к построению исходных теорем неевклидовой геометрии до Лобачевского, были немецкие ученые Швейкарт и Тауринус.
Профессор из Магдебурга Швейкарт (1780 - 1859) был юристом. Изучая историю неудачных попыток доказать V постулат и подходя к этому вопросу без всякой ученой предвзятости, он приходит к выводу, что наряду с обыкновенной евклидовой геометрией существует другая, неевклидова геометрия, названная им «астральной» (звездной) геометрией. Свои результаты по астральной геометрии Швейкарт получил в Харькове, где он состоял профессором права с 1812 по 1817 г. О прямолинейном и смелом высказывании этих идей можно судить по письму, написанному им в 1818 г. великому немецкому математику Гауссу, непререкаемому авторитету в вопросах геометрии, носившему в то время почетный титул «короля математиков». Свою заметку он послал Гауссу не прямо, а через своего товарища проф. Герлинга.
В этом письме говорится: «Существует двоякая геометрия: геометрия в узком смысле слова - евклидова - и звездное (astralische) учение о величинах. Треугольники последней геометрии имеют ту особенность, что сумма трех углов не равна двум прямым. Принимая это, можно строжайшим образом доказать следующее:
а) что сумма трех углов в треугольнике меньше двух прямых;
б) что сумма эта тем меньше, чем больше площадь треугольника;
в) что высота прямоугольного равнобедренного треугольника, постоянно возрастая с возрастанием боковых сторон, не может превзойти некоторую линию, которую я называю константой».
Далее Швейкарт пишет, что евклидова геометрия будет иметь место в предположении, что постоянная бесконечно велика. Только тогда окалывается справедливым, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам. Это легко доказать, лишь только мы примем, что постоянная бесконечно велика.
Письмо было послано, но нужной поддержки в печати от Гаусса Швейкарт так и не получил, хотя тот разделял взгляды Швейкарта и сам был склонен когда-нибудь заняться этим вопросом. В ответ Гаусс написал Герлингу: «Заметка проф. Швейкарта доставила мне чрезвычайно много удовольствия, и я прошу передать от меня по этому поводу самый лучший отзыв». Но, видимо, не только этого ожидал Швейкарт от Гаусса. Не найдя поддержки со стороны Гаусса, Швейкарт, не имевший к тому же специального математического образования, стал, по-видимому, сомневаться в своих результатах. Свои замечательные идеи, посвященные разработке звездной геометрии, Швейкарт не опубликовал Пыл к астральной геометрии пропал, занятия ею были заброшены, и он к ним больше не возвращался.
Как потом выяснилось, «король математиков» в вопросах неевклидовой геометрии был более чем осторожен; вынашивая их в голове, он не спешил с их письменным оформлением и тем более с их публикацией. Он просто боялся быть непонятым и поставить под удар свой научный престиж.
Дальнейшей разработкой идей Швейкарта занялся его племянник Тауринус (1794 - 1874). В 1825 г. он выпустил работу «Теория параллельных линий». В этой работе он опровергает гипотезу тупого угла четырехугольника Саккери и сознательно развивает геометрию, вытекающую из гипотезы острого угла этого четырехугольника. В другой своей работе (1826) Тауринус намечает формальные пути построения неевклидовой геометрии.
Признавая логическую непротиворечивость неевклидовой геометрии, Тауринус, однако, считал ее непригодной для реальной действительности и поэтому не имеющей никакого интереса.
Тауринус также обращался со своими результатами к Гауссу. И даже получил от Гаусса письмо, датированное 8 ноября 1824 г., но к сожалению, в этом письме Гаусс больше говорит о своих собственных результатах в области неевклидовой геометрии, чем о результатах Тауринуса, считая их для себя пройденным этапом, и не только не побуждает молодого ученого к новым исследованиям и дерзаниям, а, наоборот, расхолаживает его. Письмо Гаусса заканчивается следующими характерными словами: «Относительно человека, который обнаружил глубокий математический ум, я не опасаюсь, что дурно поймет изложенное выше (а выше изложены программные вопросы неевклидовой геометрии); но во всяком случае вы должны смотреть на это, как на частное сообщение, которое отнюдь не должно быть опубликовано».
Тауринус, однако, решил, что следует заниматься теорией параллельных линий и не держать новое открытие под сукном. Именно это заставило его опубликовать упомянутые работы одну за другой. И когда в предисловии к последней своей брошюре он осторожно высказал пожелание, чтобы Гаусс опубликовал свое мнение по ному вопросу, «король математиков» не на шутку рассердился и порвал всякие связи с Тауринусом. После этого все письма Тауринуса к Гауссу оставались без ответа... В обстановке полного непризнания своих научных работ ученый впал в болезненное состояние, приведшее его к потере душевного равновесия. Он сжег свои брошюры и навсегда отошел от науки.
Н. И. Лобачевский и его геометрия.В начале XIX века впервые в истории гениальный русский ученый Николай Иванович Лобачевский пришел к выводу, что возможна такая геометрия, в которой место V постулата занимает противоположное допущение. Этим самым Н. И. Лобачевским окончательно была решена проблема V постулата.
Н. И. Лобачевский родился 2 декабря 1792 г. в Нижнем Новгороде. С 1802 по 1807 г. учился в Казанской гимназии, с 1807 по 1811 г. состоял студентом незадолго до того основанного Казанского университета, с 1814 г. - адъюнкт, с 1816 г. - профессор того же университета, с 1827 по 1846 г. - его ректор. С 1846 по 1865 г. - помощник попечителя Казанского учебного округа. Скончался Н. И. Лобачевский 24 февраля 1866 г.
В течение первых лет преподавательской деятельности в Казанском университете Н. И. Лобачевский настойчиво пытался доказать V постулат. Неудача этих попыток и попыток предшественников привела его к новой и смелой идее; V постулат доказать нельзя, его справедливость не вытекает из остальных аксиом геометрии; принятие аксиомы, представляющей собой отрицание V постулата, приводит к созданию новой геометрии, существенно отличной от «употребительной» геометрии Евклида. Дата открытия новой геометрии - 23 февраля 1826 г.; в этот день Н. И. Лобачевский сделал на заседании физико-математического факультета Казанского университета доклад: «Краткое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных»; текст его был представлен факультету 18 февраля 1826 г. на французском языке. В этом сочинении содержались основы новой геометрии; оно составило первую часть мемуара «О началах геометрии», напечатанную в 1829 - 1830 гг. в журнале «Казанский вестник».
В дальнейших своих работах Лобачевский разработал новую геометрию, названную им «воображаемой», весьма основательно; он дал для нее и аналитические, и дифференциально-геометрические методы. Наиболее доступное изложение начал «воображаемой геометрии» мы найдем в работе «Геометрические исследования по теории параллельных» (1840), вошедшей в том I полного собрания сочинений Н. И. Лобачевского.
К тем же идеям пришли выдающийся венгерский математик Я. Бойяи (1802 - 1860) и великий немецкий математик Гаусс (1777 - 1855). Я. Бойяи опубликовал в 1832 г. на латинском языке произведение: «Приложение, излагающее абсолютно верное учение о пространстве, независимое от правильности или ложности XI аксиомы Евклида ...» (по-латински: «Appendix...»). В этой работе» составившей приложение к математическому трактату его отца, Фаркаша Бойяи, также построена геометрия, в которой V постулат заменен его отрицанием.
Гаусс своих исследований по новой геометрии, названной им неевклидовой, не опубликовал. -
Все это показывает, что приоритет в открытии «воображаемой геометрии» неоспоримо принадлежит Н. И. Лобачевскому: он опубликовал ее начала на три года ранее Я. Бойяи, а в дальнейшем разработал ее значительно подробнее, чем это сделал Я. Бойяи. В посмертных бумагах Гаусса были обнаружены лишь начальные сведения неевклидовой геометрии. Поэтому с полным основанием новая, созданная Н.. И. Лобачевским, геометрия называется геометрией Лобачевского.
Работы Н. И. Лобачевского и Я, Бойяи не встретили понимания И признания у современников. Лишь после смерти Гаусса, когда была опубликована переписка Гаусса с некоторыми его друзьями-математиками, в которой содержались восторженные отзывы об исследованиях Лобачевского и Бойяи, внимание математиков всего мира, было привлечено к геометрии Лобачевского; появились многочисленные исследования, связанные с ней. Особое впечатление произвела работа Бельтрами «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии», опубликованная в 1868 г.; в ней были указаны поверхности, на которых в малом осуществляется двумерная геометрия Лобачевского. Наконец, в 1871 г. знаменитый немецкий математик Ф. Клейн (1849 - 1925) в работе «О так называемой неевклидовой геометрии» доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского, чем устранил последние сомнения в ее правомерности.
Значение геометрии Лобачевского.Геометрия Лобачевского сыграла огромную роль в развитии геометрии; она уничтожила монополию геометрии Евклида и чрезвычайно расширила рамки геометрических исследований. К настоящему времени создано очень много геометрических наук: различного рода неевклидовы геометрии, риманова геометрия, геометрии аффинной и проективной связности и дальнейшие их обобщения.
Со времени открытия геометрии Лобачевского и ее всеобщего признания начинается новая эпоха в истории геометрии. Очень ярко оценено значение открытия Лобачевского в следующем высказывании известного английского математика В. Клиффорда (1845 - 1879): «Чем Везалий был для Галена, чем Коперник был для Птолемея, тем Лобачевский был для Евклида. Между Коперником и Лобачевским существует любопытная параллель - оба они славяне по происхождению; каждый из них произвел революцию в научных воззрениях; и обе эти революции имеют одинаково громадное значение - это революции в нашем понимании космоса».
Геометрические идеи Лобачевского сыграли значительную роль в решении вопроса о геометрических свойствах окружающего нас мира. Как следует из теории относительности Эйнштейна (специальной и общей), пространственные, временные и материальные свойства мира должны рассматриваться в диалектическом единстве. В основе теории Эйнштейна лежат риманова геометрия и дальнейшие ее обобщения, создание которых базируется, в конечном счете, также на геометрии Лобачевского. Таким образом, достижение Лобачевского открыло пути для исследования геометрических свойств космоса. В то же время следует иметь в виду, что для земных расстояний с большой точностью, можно пользоваться геометрией Евклида. Как показали геодезические измерения, специально производившиеся Гауссом на земной поверхности, сумма углов плоских треугольников равна 180° с точностью до 0,00001 секунды.
Открытие Лобачевского сыграло важную роль и в другом отношении: как было отмечено выше, оно решило многовековую проблему V постулата Евклида и тем самым снова привлекло внимание математиков к основам геометрии.