Основной характеристикой любой динамической системы, наиболее полно отражающей ее свойства, является дифференциальное уравнение.
Процессы, описывающие линейную САУ, соответственно, будут описываться линейным дифференциальным уравнением.
Общий метод составления дифференциального уравнения системы: для каждого звена автоматической системы в соответствии с его теорией составляют дифф.ур. связывающее его выходную величину с входной. В результате получают систему уравнений, количество которых равно числу звеньев. Входные и выходные величины – основные, остальные промежуточные, которые из системы исключаются при ее решении.
Общий вид такого уравнения:
(2.1)
Где:
y – управляемая (выходная) величина САУ
g – задающая (входная) величина САУ
Дифференциальное уравнение связывает управляемую величину САУ y(t) с задающим воздействием g(t)
В САУ традиционно выполняется соотношение n > m – это закон ее функционирования.
Так как все функции и их производные стоят в первой степени, для такого дифференциального уравнения выполняется принцип суперпозиции, следовательно, такая система линейна.
Дифференциальные уравнения сложны, для упрощения описания САУ и анализа их функционирования применяется преобразование Лапласа. Делаем мы это, чтобы получить передаточную функцию САУ
Передаточная функция системы – это отношение изображения по Лапласу выходной управляемой величины к изображению по Лапласу задающего воздействия.
Где:
Есть таблица готовых преобразований Лапласа
Как известно:
Для получения передаточной функции САУ найдем преобразование Лапласа от обеих частей уравнения (2.1)
Т.о. уравнение дифференциальное преобразовано в уравнение алгебраическое.
Передаточная функция, следовательно, имеет вид:
Передаточная функция является основной характеристикой САУ
Сразу описать систему в целом сложно, но передаточная функция может определиться для функции в целом, если мы узнаем передаточную функцию каждого из звеньев.
Известная ПФ позволяет получить временные и частотные характеристики САУ
Пример:
- источник питания, подаваемого на перестраиваемые резисторы
- напряжение на резисторе
- напряжение на резисторе
- напряжение на резисторе
Разница напряжений между резисторами
- напряжение, подаваемое на обмотку возбуждения двигателя обеспечения его работы
Дискриминатор в данном случае построен на , и источнике питания
Задающее воздействие определяет величину и соответственно
Положение оси двигателя – управляемая величина - определяет и соответственно
Т.о. в дискриминаторе сравнивается угловое положение осей и находится ошибка.
В системе используется два вида связи, две линии – электрическая и механическая.
, причем
- угол поворота ручек потенциометра
- коэффициент передачи
- ошибка
Равенства угла поворота исполнительной оси и угла поворота командной оси . В этом случае ошибка равна 0 и напряжение на входе усилителя и на его выходе тоже будет нулевым, т.е. двигатель неподвижен.
Определим зависимость между ошибкой и положение исполнительной оси
Определим, исходя из (1) – (4), связь между управляемой величиной и задающим воздействием с учетом преобразования Лапласа.
Следовательно, передаточная функция
Обозначим
Тогда:
Следовательно
Дифференциальное уравнение: