Лекция 2. Множество вещественных чисел (продолжение).
ОПР. Числовое множество Х называют ограниченным сверху, если найдется число М, для которого
|
.
ОПР. Числовое множество Х называют ограниченным снизу, если найдется число m, для которого
|
.
ОПР. Числовое множество Х называют ограниченным , если найдутся числа m и М, для которых
|
.
Наименьшее из чисел М, ограничивающих сверху множество Х, называют точной верхней гранью этого множества. Аналогично, наибольшее из чисел m , ограничивающих множество Х снизу, называют точной нижней гранью множества Х. Точнее об этом в
называют точной верхней гранью множества Х,
|
, если выполнены два условия :
.
называют точной нижней гранью множества Х,
|
, если выполнены два условия
.
Точные верхняя и нижняя грани множества Х могут не принадлежать множеству Х.
ПРИМЕР 1. Множество Х является множеством значений последовательности
|
.
. Решаем последнее неравенство относительно n :
|
. Поскольку последовательность
|
возрастающая, то
.
ТЕОРЕМА 1. Любое непустое, ограниченное сверху множество
|
.
ДОК. Пусть У – множество верхних граней множества Х:
|
. По аксиоме о полноте множества вещественных чисел (аксиома 5), найдется число
|
, для которого
.
и является в нем наименьшим элементом, т.е.
|
.
Замечание. Множество Х имеет только одну точную верхнюю грань.
, что противоречит условию
|
.Аналогично доказывается
ТЕОРЕМА 2. Любое непустое, ограниченное снизу множество
|
.
П.2 Множество рациональных чисел Q .
называются рациональными. Два рациональных числа
|
.
называется всюду плотным в
|
.
ТЕОРЕМА 3. Множество Q рациональных чисел всюду плотно в R.
два произвольных вещественных числа. Выберем натуральное n , для которого
|
. Пусть К множество целых чисел
|
. Множество К ограничено сверху и существует
|
.
ОПР. Два множества Х и У называются равномощными, если существует биекция
|
.
ОПР. Множество Х равномощное с N называется счетным.
ТЕОРЕМА 4. Множество Q счетно.
ДОК. Покажем, что всякое бесконечное подмножество У счетного множества Х также счетно.
|
.
.
Рассмотрим множество Х точек на плоскости с координатами
|
. Множество Х счетно.
(соответствующая биекция изображена на рис.)
несократима.
По доказанному, множество
|
биективно. Тогда отображение
|
биекция и множество рациональных чисел счетно.
П.3 Система вложенных отрезков.
называется системой вложенных отрезков, если
|
.
ТЕОРЕМА 5. Любая система вложенных отрезков имеет общую точку.
ДОК. Рассмотрим множества
|
. Множества А и В ограничены и
|
. Тогда по аксиоме полноты существует
|
, для которого
ОПР. Система вложенных отрезков называется стягивающейся, если
|
.
ТЕОРЕМА 6. Система стягивающихся отрезков имеет единственную общую точку.
ДОК. Пусть с1 и с2две такие точки и
.
.
Последнее противоречит условию стягивания.
ТЕОРЕМА 7 . Множество всех точек отрезка
|
несчетно.
ДОК. Предположим обратное :
|
и выберем тот из отрезков, который не содержит х1. Далее полученный отрезок разобьем на три части и выберем тот, который не содержит х2 и т.д. Полученная совокупность вложенных отрезков стягивающаяся. По теореме 1 существует число
|
, не совпадающее ни с одним из xn. Полученное противоречие доказывает , что множество [0;1] несчетно. Множества равномощные с [0;1] называются множествами мощности континуума.
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Докажите, что множество всех интервалов (а;в) с рациональными концами счетно.
2. Докажите, что множество попарно не пересекающихся интервалов на действительной оси, конечно или счетно.
3. Множество всех последовательностей, состоящих из нулей и единиц, имеет мощность континуума.
ВОПРОСЫ к ЭКЗАМЕНУ.
1) Числовые множества. Понятие точной верхней и нижней грани. Теорема о существовании точной верхней и нижней грани ограниченного числового множества.
2) Множество рациональных чисел. Теорема о всюду плотности рациональных чисел.
3) Счетные множества. Теорема о счетности множества рациональных чисел.
4) Система вложенных отрезков. Теорема о непустоте их пересечения. Система стягивающихся вложенных отрезков. Теорема об единственности точки их пересечения.
5) Теорема о несчетности множества точек отрезка вещественной оси.