Лекция 1. Вещественные числа. Ответ : это либо не рыжие хорошисты, не занимающиеся спортом, либо рыжие троечники не занимающиеся спортом - раздел Философия, Лекция 1. Вещественные Числа.
П.1 Множества.
Объединение Мн...
Лекция 1. Вещественные числа.
П.1 Множества.
Объединение множеств.
.
ПРИМЕР 1. А – множество студентов, сдавших физику и математику на оценку 4 или 5. В – множество студентов с рыжими волосами. С – множество студентов, занимающихся спортом. Какие студенты входят в множество
|
?
Ответ : это либо не рыжие хорошисты, не занимающиеся спортом, либо рыжие троечники не занимающиеся спортом.
Алгебра множеств (примеры).
.
.
П.2. Вещественные числа.( множество R )
Аксиомы вещественных чисел.
1. Аксиомы сложения. В множестве вещественных чисел определена операция сложения, т.е.
|
определено вещественное число
|
, причем эта операция удовлетворяет условиям:
1.1 существует нуль, т.е.такой элемент
|
.
1.2 существует «противоположный» элемент :
|
.
1.3 «правило расстановки скобок»:
|
.
.
2. Аксиомы умножения. Во множестве вещественных чисел определена операция умножения, т.е.
|
определено вещественное число
|
, причем эта операция удовлетворяет условиям :
2.1 существует единица, т.е. такой элемент
|
.
существует «обратный» элемент
|
.
2.3 «правило расстановки скобок» :
|
.
3. Аксиомы сложения и умножения.
3.1 правило раскрытия скобок :
|
4. Аксиомы порядка.
Во множестве действительных чисел определено отношение порядка
|
справедливо одно из высказываний :
или
|
, при этом это отношение удовлетворяет условиям :
.
.
.
5. Аксиома полноты.
5.1 Пусть X,Y и Z подмножества R такие, что
|
Множество , содержащее более двух элементов, с введенными операциями сложения и умножения, удовлетворяющими аксиомам 1-5 ,называется множеством вещественных чисел, а его элементы – вещественными (или действительными) числами.
СЛЕДСТВИЯ из аксиом.
Сл1. Единственность нуля.
.
.
.
.
.
П.3 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и действия с ними.
Обобщение понятия числа возможно на пути включения вещественных чисел в более обширное множество, в котором некоторые аксиомы вещественных чисел (4-5) не выполняются. В этом множестве должны быть введены операции (сложение, умножение, деление) так, что их сужение на множество вещественных чисел сохраняло смысл аналогичной операции в R.
ОПР. Комплексным числом z называют пару вещественных чисел :
|
. Число a –называют вещественной , а b - мнимой часть комплексного числа z . Если мнимая часть равна нулю, то комплексное число
|
называют вещественным или действительным. Его отождествляют с вещественным числом
|
. Если вещественная часть комплексного числа равна нулю, то число называют чисто мнимым.
В качестве примера чисто мнимого числа рассмотрим число
|
, называемое мнимой единицей. Два комплексных числа равны, если у них равны вещественные и мнимые части. Отношение порядка для комплексных чисел не определены: нельзя сказать, что одно комплексное число больше или меньше другого комплексного числа. Например, высказывание о том, что комплексное число положительно, имеет смысл только в том случае, если оно вещественное положительное число.
ОПР. Операция сложения двух комплексных чисел
|
, т.е. складываются вещественные и мнимые части комплексного числа.
ОПР. Операция умножения двух комплексных чисел
|
определена так:
.
ОПР. Операция деления двух комплексных чисел
.
СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ.
1. Если во всех операциях участвуют комплексные числа с нулевой мнимой частью, т.е. действительные числа, то их действия сводятся к аналогичным операциям в R.
2. Введенные операции сложения, умножения и деления удовлетворяют аксиомам 1-3.
Действительно, роль нуля в аксиоме 1.1 играет 0=(0,0). Противоположным элементом для
|
. Легко проверяется для сложения правило расстановки скобок и коммутативность сложения. Единицей в аксиоме 2.1 является число (1,0) – вещественная единица:
.
, поскольку
.
Проверим правило расстановки скобок в аксиоме 2.3 умножения:
|
.
.
Если внимательно посмотреть на вещественную и мнимую части полученных комплексных чисел, то легко заметить, что они равны друг другу и
|
.
УПРАЖНЕНИЕ. Проверьте выполнение аксиом 2.4 и 3.1.
УПРАЖНЕНИЕ. Проверьте, что если
|
.
.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ интерпретация комплексного числа.
Если на плоскости ХОУ рассмотрена декартовая система координат, то любому комплексному числу
|
соответствует точка на плоскости с координатами
и вектор с началом в точке (0,0) и концом в точке
|
. Вещественным числам соответствуют точки на оси ОХ. Операции сложения комплексных чисел соответствует сложение векторов на плоскости, умножению комплексного числа
|
на вещественное число
- умножение вектора на
|
.
ОПР. Модулем комплексного числа
|
называют число
.
Модуль комплексного числа – это длина соответствующего ему вектора на плоскости ХОУ.
ОПР. Аргументом комплексного числа
|
, называют угол , который образует соответствующий ему вектор с положительным направлением оси ОХ. Принято считать,
|
.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМА комплексного числа.
Комплексное число можно представить в виде
Она называется алгебраической формой. Здесь a и b – вещественная и мнимые части комплексного числа, а i - мнимая единица. Эта форма удобна для выполнения операций над комплексными числами в виде преобразования алгебраических выражений с дополнительным условием:
|
.
.
.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА комплексного числа.
.
Тогда комплексное число можно представить в форме:
которая называется тригонометрической формой комплексного числа
|
.Проследим за умножением комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:
|
Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. В частности,
.
КОРЕНЬ степени n из комплексного числа.
называется корнем степени n из комплексного числа
|
.
ТЕОРЕМА. Существует ровно n значений корня степени n из комплексного числа
|
.
Все они имеют одинаковый модуль, равный
|
, и аргументы ,вычисляемые по формуле:
|
.
.
УПРАЖНЕНИЕ. Докажите, что для решения квадратного уравнения
|
с произвольными комплексными коэффициентами, справедлива формула:
|
, где корень вычисляется из комплексного числа.
П 4. Отображения множеств.
Пусть X и Y два множества, принадлежащие R. Функцией
|
, определенной на множестве X и принимающей значения в множестве Y, называют закон (правило), по которому каждому
|
сопоставляется единственное число
|
. Таким образом,
с функцией всегда связаны три объекта
|
: X – область определения, f – правило отображения, Y – область значения. Две функции, у которых хотя бы один элемент тройки различен, считаются разными. Например, функции
|
различные, поскольку у них разные области определения. Если
|
называется сужением функции
|
на множество A.
называется сюръекцией, если
|
, и инъекцией, если каждое значение
|
.
одновременно сюрьективна и инъективна, то она называется биекцией.
называется прообразом множества
|
.
биекция, то на множестве Y определена функция
|
. Она называется обратной функцией к f.
.
- обратная.
, сюръективна.
обратная.
ВОПРОСЫ к ЭКЗАМЕНУ.
1) Множества, операции над множествами, примеры.
2) Аксиомы вещественных чисел и их следствия.
3) Комплексные числа, действия с ними в алгебраической и тригонометрической формах.
4) Корень степени n из комплексного числа.
5) Отображения множеств. Сюръективные, инъективные и биективные функции. Обратная функция. Примеры.
.
ОПР. Числовое множество Х называют ограниченным снизу, если найдется число m, для которого
.
ОПР. Числовое множество Х называют ограниченным , если найдутся… .
.
Последовательность может задаваться явно, например,
(1)
…
и рекуррентно, например, (5)
.
ОПР.(ГЕЙНЕ) Число А называется пределом функции
в точке
, обозначение
,…
Множество V на числовой оси называется открытым, если
… . Любое открытое множество V(a), содержащее точку a , называют окрестностью точки a .
ОПР.(ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ)…
.
ОПР. (эквивалентное).Функция
непрерывна в точке
, если ее приращение D
-… .
(здесь
)
, если
.
ОПР. Функция
:
… , если
ТЕОРЕМА 1.(производная обратной функции)
Пусть
непрерывная, строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция… и
.
ДОК.
, то говорят о строгом локальном максимуме.
ОПР. Точка
называется точкой локального минимума функции
… локальный минимум или локальный максимум, то говорят о локальном экстремуме… ПРИМЕР 1.(не характерный)
Функция
имеет, по определению, в точке
…
ОПР. Производной второго порядка называют производную от функции первой производной. В общем случае,
.
ПРИМЕРЫ Доказать, что
(1)
(2)
.
ОПР. Функция
в точке
называется выпуклой (вверх), если выражение
ОПР. Функция
называется выпуклой (вниз… , если она выпукла (вниз или вверх) в каждой точке этого интервала.
ТЕОРЕМА 1. (обобщенная теорема Коши)
Пусть даны функции
,
, определенные на отрезке
,… , причем
1)
(производные в точке a правые)
2)
.
ОПР. Функция
в точке
называется выпуклой (вверх), если выражение
ОПР. Функция
называется выпуклой (вниз… , если она выпукла (вниз или вверх) в каждой точке этого интервала.
Новости и инфо для студентов