Лекция 12 . Формула Тейлора 2.
П.1 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
ТЕОРЕМА 1. (обобщенная теорема Коши)
, определенные на отрезке
|
, имеющие непрерывные производные до порядка
|
, причем
(производные в точке a правые)
,
.
.
ДОК. Применим последовательно теорему Коши: существует
|
.
выполняются условия теоремы Коши и существует
|
.
ТЕОРЕМА 2. (формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа)
непрерывна и имеет непрерывные производные до ( n+ 1) порядка на конечном отрезке
|
( остаточный член в форме Лагранжа).
ДОК. Применим обобщенную теорему Коши для функций
|
. Условия теоремы проверялись для функции
|
(см. пример) и очевидны для функции
|
, для которой
П.2 Интервалы монотонности.
ОПР. Функция возрастает в точке
|
для любых достаточно малых
|
, т.е. положительным приращениям аргумента соответствуют положительные приращения функции и уменьшению аргумента (
|
) соответствует уменьшение значения функции (
|
).
ОПР. Функция убывает в точке
|
для любых достаточно малых
|
, т.е. положительным приращениям аргумента соответствуют отрицательные приращения функции и уменьшению аргумента (
|
) соответствует увеличения значения функции (
|
).
называется интервалом возрастания (убывания) функции
|
,если каждая его внутренняя точка является точкой возрастания (убывания) функции.
ТЕОРЕМА 3. (ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ МОНОТОННОСТИ функции на интервале)
дифференцируема на интервале
|
строго возрастает (убывает) на интервале
|
.
. Тогда по теореме о среднем Лагранжа существует
|
.
(2) для убывания по аналогии.
Таким образом, интервалы монотонности функции совпадают с интервалами знакопостоянства ее производной. Для их нахождения необходимо найти производную функции, приравнять ее нулю и найти точки из области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует. Эти точки, называемые критическими, являются границами интервалов монотонности. Если на одном из них производная
, то это интервал возрастания функции, в противном – интервал убывания. Точка, в которой
|
, может служить границей противоположных интервалов монотонности или, например, двух интервалов возрастания, которые можно объединить в один.
строго возрастает на R, но имеет точку
|
критической.
П.3. Экстремумы функции. Необходимые и достаточные условия.
Понятия локального экстремума (максимума или минимума) можно сформулировать в терминах приращения функции : функция
|
строгий локальный максимум , если ее приращение
|
для любых достаточно малых
|
. Для локального минимума знак неравенства противоположный. Для не строгого локального максимума знаки неравенства не строгие.
ТЕОРЕМА 4.(НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА)
имеет локальный экстремум. Тогда либо
|
, либо производной в точке
|
не существует.
ДОК. (1) для максимума. Если производной в точке
|
нет, то теорема доказана. Если производная существует, то
и
|
.
(2) для минимума (по аналогии).
имеет в точке
строгий локальный минимум, хотя в точке
|
производной у функции нет.
ТЕОРЕМА 5. ( ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА по первой производной)
Пусть точка a является границей двух интервалов монотонности
|
, причем
является интервалом возрастания, а
|
- интервалом убывания функции. Тогда в точке
|
функция имеет локальный максимум.
является интервалом убывания , а
|
- интервалом возрастания функции. Тогда в точке
|
функция имеет локальный минимум.
ДОК. (1) Из непрерывности функции в точке
|
и монотонного роста функции на интервале
|
. Если предположить строгую монотонность на интервалах
|
, то экстремум будет строгим.
ТЕОРЕМА 6. (ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА по второй производной)
функция имеет локальный минимум, если
, и локальный максимум, если
|
.
ДОК. Заметим, что в условиях теоремы
|
по формуле Тейлора в окрестности точки
|
:
Тогда в малой окрестности точки
|
сохраняет знак производной
|
для достаточно малых значений
|
- локальный максимум. Последняя теорема обобщается на случай производных более высоких порядков.
ТЕОРЕМА 7. (ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ЭКСТРЕМУМА по производной четного порядка)
,
функция имеет локальный минимум, если
|
.
ДОК. Воспользуемся формулой Тейлора :
|
определяется знаком производной
|
.
УПРАЖНЕНИЕ. Каково поведение функции в окрестности точки
|
, если
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1) Обобщенная теорема Коши и формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
2) Возрастание функции в точке и на интервале. Теорема о достаточном условии возрастания функции на интервале. Нахождение интервалов монотонности.
3) Локальный экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума по первой производной.
4) Достаточное условие экстремума по второй производной и четной производной.