Лекция 13. Исследование функции, график функции.
П.1 Выпуклость функции.
называется выпуклой (вниз), если выражение
|
.
называется выпуклой (вверх), если выражение
|
называется выпуклой (вниз или вверх) на интервале
|
, если она выпукла (вниз или вверх) в каждой точке этого интервала.
ТЕОРЕМА 1 (ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВЫПУКЛОСТИ по первой производной)
(1) Если при всех
и при всех
|
, то функция выпукла (вверх) в точке
|
,то функция выпукла (вниз) в точке
|
.
применим к функции теорему Лагранжа :
|
. Тогда
.
применим к функции теорему Лагранжа:
|
.
Тогда
.
Доказательство (2) самостоятельно.
ТЕОРЕМА 2. ( ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВЫПУКЛОСТИ по второй производной)
, то функция выпукла (вверх) на интервале
|
.
, то функция выпукла (вниз) на интервале
|
.
произвольная точка интервала
|
.
По формуле Тейлора:
, т.е. функция выпукла (вверх) в точке
|
.
(2) доказать самостоятельно.
Для нахождения интервалов выпуклости необходимо: 1) найти вторую производную функции ; 2) определить критические точки второго рода, т.е. точки в которых вторая производная равна нулю, либо не существует ; 3) расположить критические точки на числовой оси (на области определения функции) и разбить ее на интервалы, границами которых являются критические точки второго рода ;4) выяснить знак второй производной на каждом из интервалов и определить характер выпуклости.
П.2 Точка перегиба.
называется точкой перегиба функции
|
функция непрерывна в этой точке и
|
является границей двух различных интервалов выпуклости (вверх и вниз).
ТЕОРЕМА 3. (НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ПЕРЕГИБА)
, либо вторая производная в точке
|
не существует.
ДОК. Если вторая производная не существует, то теорема доказана. Если она существует, но не равна нулю, то выражение
|
сохраняет знак в малой окрестности
|
, т.е. функция выпукла (вверх или вниз) в точке
|
и она точкой перегиба не является.
ТЕОРЕМА 4 (ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРЕГИБА по второй производной)
удовлетворяет условиям :1) существует
|
)
перегиб.
ДОК. Из условия 1) теоремы следует, что
|
.Из условия 2) и теоремы 2 следует, что интервалы
и
|
являются интервалами выпуклости функции
|
вверх и вниз или наоборот.Тогда
|
- точка перегиба.
П 3. Асимптоты графика функции.
называется вертикальной асимптотой графика функции
|
, если функция является бесконечно большой в точке
|
.
является вертикальной асимптотой, а прямая
|
асимптотой не является.
называется горизонтальной асимптотой графика функции
|
.
является горизонтальной асимптотой графика функции
|
.
функция не имеет горизонтальной асимптоты.
называется наклонной асимптотой графика функции
|
на бесконечности, если
.
ТЕОРЕМА 5. Если график функции
|
своей наклонной асимптотой, то
.
- бесконечно малая функция на бесконечности и
|
- бесконечно малая функция на бесконечности, то
|
.
ТЕОРЕМА 6. Если для функции
|
является наклонной асимптотой ее графика.
. Тогда
своей наклонной асимптотой. Действительно,
|
П.4 Схема построения графика функции.
При построении графика функции полезно следовать следующей схеме:1) Найти область определения функции.2) Определить особенности функции: четность, нечетность, периодичность или его отсутствие.3) Вычислить первую производную функции.
4) Отметить на области определения функции критические точки первого рода, отметить интервалы монотонности и определить характер монотонности (возрастание или убывание).
5) Среди критических точек отметить точки экстремума (максимума или минимума).6) Вычислить вторую производную функции.7) Отметить на области определения функции критические точки второго рода, отметить интервалы выпуклости и определить характер выпуклости (вниз или вверх).
8) Среди критических точек второго рода отметить точки перегиба.9) Установить асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные, наклонные ).10) Построить график функции с учетом обнаруженных в пунктах 1)-9) особенностей.
ПРИМЕР 4. Построить график функции
|
.
. Критические точки первого рода
|
, в них производной нет ( она бесконечно большая, вертикальная касательная) 5) точек экстремума нет.
7) Критические точки второго рода
|
, в них производной нет, функция на области определения выпукла вверх. 8) точек перегиба нет.
9) Вертикальных асимптот нет, прямая
|
-горизонтальная асимптота на
|
является наклонной асимптотой на
|
.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1) Выпуклость функции, достаточное условие выпуклости по первой производной, достаточное условие выпуклости по второй производной.
2) Точка перегиба, необходимое условие перегиба, достаточное условие перегиба.
3) Асимптоты графика функции : вертикальные, горизонтальные, наклонные. Необходимое и достаточное условие существования наклонной асимптоты.
4) Общая схема исследования функции и построения ее графика. Проиллюстрировать схему на примере по выбору.