Лекция 7. Непрерывные функции.
П1. Непрерывность функции в точке.
.
ОПР. (эквивалентное).Функция
|
- бесконечно малая функция в точке
|
.
)
ДОК. Эквивалентность определений следует из теоремы о связи функции, имеющей предел, и бесконечно малой функции.
ПРИМЕРЫ.
(1) Доказать непрерывность функции
|
.
.
(2) Доказать, что функция
|
и непрерывна в любой точке
|
.
, т.е. функция не является непрерывной в точке
|
- ограничена в окрестности точки
|
.
ТЕОРЕМА 1. (арифметическая теорема о непрерывных функциях)
непрерывны в точке
. Тогда сумма
|
непрерывные функции в точке
|
.
ДОК. Следует из арифметической теоремы о пределах.
ОПР. Пусть заданы две функции
и
|
, определенная по правилу
|
, называется композицией функций f и g или сложной функцией.
сложная и является композицией функций
|
.
ТЕОРЕМА 2. (о непрерывности сложной функции)
.
.
и
.
П 2. Непрерывность функции на отрезке.
непрерывна на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.
ограничена на отрезке [a;b], если
.
ТЕОРЕМА 3. ( 1- я теорема Вейерштрасса)
Всякая непрерывная функция
|
на отрезке ограничена на этом отрезке.
ДОК. Предположим противное: функция
|
на отрезке [a;b] неограниченна ®
|
ограничена по построению, поэтому по теореме у нее есть предельная точка
|
непрерывна в точке c , она ограничена в окрестности этой точки ( теорема об ограниченности функции, имеющей предел),
может находиться не более конечного числа членов последовательности
, что противоречит тому, что c – предельная точка последовательности
|
.
ограничено. Тогда по теореме о точной верхней и нижней грани существует
|
.
, то А называется наименьшим значением функции
|
на отрезке [a;b].
.
, то В называется наибольшим значением функции
|
на отрезке [a;b].
.
ТЕОРЕМА 4.(2 – я теорема Вейерштрасса)
Непрерывная функция на отрезке принимает наименьшее и наибольшее значения.
. Тогда, по определению точной нижней грани,
|
ограничена, поэтому у нее есть предельная точка c1
|
. Тогда у нее есть подпоследовательность
|
и по теореме о промежуточной последовательности
|
.
.
. Тогда, по определению точной верхней грани,
|
ограничена, поэтому у нее есть предельная точка c2
|
. Тогда у нее есть подпоследовательность
|
, и по теореме о промежуточной последовательности
|
.
ТЕОРЕМА 5.(о нуле непрерывной функции)
непрерывная функция на отрезке
|
.
пополам. Если
, то теорема доказана. Если
|
, то выберем тот из отрезков разбиения, для которого значения функции на концах отрезка имеют разные знаки. Обозначим этот отрезок через
. Повторим процесс деления : выберем тот из отрезков разбиения отрезка
|
, для которого значения функции на концах отрезка имеют разные знаки. Обозначим этот отрезок
|
и т.д. Построенная последовательность вложенных отрезков – стягивающаяся. По теореме о системе стягивающихся отрезков существует точка
|
, принадлежащая каждому из отрезков
|
, то из непрерывности функции
|
сохраняет знак в некоторой окрестности
|
, что противоречит способу построения последовательности отрезков
|
.
ТЕОРЕМА 6. (о структуре области значений непрерывной функции на отрезке)
.
ДОК. Пусть С произвольное число из отрезка
|
. Требуется доказать, что
|
. Она непрерывна на отрезке
|
,
принимает значения разных знаков и, по доказанному в теореме 5, у нее есть ноль на этом отрезке :
|
П3. Равномерная непрерывность.
равномерно непрерывна на
множестве Х, если
Из непрерывности функции на некотором множестве Х не следует ее равномерная непрерывность.
ПРИМЕР. Доказать, что функция
|
не является на нем равномерно непрерывной.
может быть сделана как угодно большой за счет удаленности
|
от начала координат.
ТЕОРЕМА 6 (Гейне, о равномерной непрерывности функции на отрезке)
равномерно непрерывна на этом отрезке.
ДОК. Предположим противное: функция не является равномерно непрерывной. Тогда существует
|
ограничены и по теореме Вейерштрассе из них можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, причем по построению
|
. По условию теоремы функция
|
.
,
что противоречит выбору последовательности
и
|
, т.е. функция равномерно непрерывна.
называется колебанием функции
|
на множестве Х.
Равномерная непрерывность функции на множестве Х означает, что для нее
|
.
УПРАЖНЕНИЯ.
(1) Докажите, что кубическое уравнение всегда имеет корень.
(2) Докажите, что функция
|
.
(3) Приведите пример непрерывной неограниченной на интервале
|
функции.
(4) Докажите, что
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1) Непрерывность функции в точке. Арифметические теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность сложной функции.
2) Непрерывность функции на отрезке. Теорема об ограниченности непрерывной функции на отрезке.
3) Теорема о наибольшем и наименьшем значении непрерывной функции на отрезке.
4) Теорема о нуле непрерывной функции.
5) Теорема о структуре области значений непрерывной функции.
6) Равномерная непрерывность функции на множестве. Теорема о равномерной непрерывности функции на отрезке.