Лекция 8 . Монотонные функции. Производная.
П.1 Монотонные функции.
называется возрастающей на множестве E , обозначение
|
, если
.
называется строго возрастающей на множестве E , обозначение
|
, если
.
называется убывающей на множестве E , обозначение
|
, если
.
называется строго убывающей на множестве E , обозначение
|
, если
.
- множество значений функции
|
.
.
.
.
.
, т.е. .
.
.
.
- множество значений функции
|
.
ДОК. Достаточно применить теорему 1 для функции
|
.
.
ТЕОРЕМА 3.( о существовании обратной функции)
) непрерывная функция на [a;b], то существует и единственная обратная к ней функция
|
, определенная на отрезке
|
и непрерывная, строго возрастающая ( или убывающая ) на этом отрезке.
и непрерывна на [a;b]. Тогда
|
существует и единственное значение
|
. Действительно, если таких значений два
|
функция. Докажем ее непрерывность на
|
произвольная точка интервала
|
. Тогда для любого
. Строгое возрастание функции
|
,
П.2. Производная функции в точке.
.
ПРИМЕР 1 Вычислить производную функции
|
в произвольной точке x .
.
МЕХАНИЧЕСКИЙ смысл производной.
- путь, пройденный материальной точкой к моменту времени t ,
|
- расстояние, пройденное точкой за время
|
- средняя скорость движения,
|
- скорость в момент времени t .
|
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл производной.
соединены прямой Lсек– секущей,
|
-
угловой коэффициент прямой Lсек.
прямая Lсекповорачивается вокруг точки А, занимая предельное положение - - касательной к графику функции в точке А.
- угловой коэффициент ( тангенс угла наклона ) касательной. Производная функции
|
в точке x равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x .
|
ТЕОРЕМА 4 ( о непрерывности дифференцируемой функции)
имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке.
.
- бесконечно малая функция в точке ., т.е.
|
.
, но не имеет производной в этой точке.
- бесконечно малая функция в точке
|
и пределы справа и слева не совпадают.
ТЕОРЕМА 5. (арифметическая теорема о производных)
имеют производную в точке , то
.
непрерывна в точке (теорема 4).
функция
непрерывна в точке (теорема 4).
(1) доказать самостоятельно.
УПРАЖНЕНИЯ.
1) Докажите непосредственно, что
|
.
2) Найдите функцию обратную к функции
|
.
. Найдите производную функции в точке
|
.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1) Монотонные функции. Теорема о существовании предела монотонной функции.
2) Теорема о существовании и непрерывности обратной
функции.
3) Понятие производной функции, ее механический и геометрический смысл. Примеры.
4) Теорема о непрерывности функции, имеющей производную.
5) Арифметическая теорема о производных.