Лекция 9 . Производная функции 2.
П.1 Производная обратной функции.
ТЕОРЕМА 1.(производная обратной функции)
непрерывная, строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция на отрезке [a;b] и имеющая в точке
|
имеет производную в точке
|
и
.
.
П.2 Производная сложной функции.
ТЕОРЕМА 2. (производная сложной функции)
, определенная и непрерывная в окрестности
|
, имеет производную в точке
|
определена и непрерывна в окрестности
|
, и имеет производную в точке
|
имеет производную в точке
|
и
.
б.м.ф. Тогда
.
.
П.3 Таблица производных элементарных функций.
.
ДОК.
.
.
.
.
.
(5) – самостоятельно.
П.4 Дифференциал функции.
называется дифференцируемой в точке
|
, если ее приращение можно представить в виде:
ОПР. Главная линейная часть приращения , величина
|
, называется дифференциалом функции
|
.
ТЕОРЕМА 3.
Существование производной функции
|
является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости.
.
, тогда по теореме о связи
|
.
СЛЕДСТВИЕ. Дифференциал функции
|
.
имеет производную, равную 1, поэтому
|
. Тогда
.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл дифференциала.
Уравнение касательной, проведенной к графику функции
|
, имеет вид:
.
Приращение ординаты касательной, соответствующей изменению аргумента на
|
, т.е. значению дифференциала
|
.
ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ дифференциала.
- функция независимой переменной y , то ее дифференциал имеет форму
|
, то
,
т.е. форма записи дифференциала не зависит от того, является ли y независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство дифференциала называется его инвариантностью.
П.5 Арифметические операции с дифференциалами.
.
П .6 Производная и дифференциал функций, заданных параметрически.
можно задавать с помощью двух отображений
|
. Такую функцию записывают в форме
|
может обеспечить, например, строгая монотонность функции
|
.
на отрезке [-1; 1] может быть задана параметрически:
|
. Тогда
.
ТЕОРЕМА 4.(о дифференцируемости функции заданной параметрически)
- дифференцируемые на отрезке
|
функции и
.Тогда в каждой точке x , соответствующей значению t , т.е.
|
и дифференциал
.
.
.
УПРАЖНЕНИЯ. 1) Постройте для функции
|
, обратную функцию и найдите ее производную.
2) Неявную функцию, заданную уравнением
|
, записать в параметрической форме и найти ее производную в точке
|
.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1) Теорема о производной обратной функции.
2) Теорема о производной сложной функции.
3) Таблица производных элементарных функций.
(с доказательством)
4) Дифференцируемость функции, теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости.
5) Дифференциал функции, связь дифференциала с производной, геометрический смысл дифференциала, инвариантность формы дифференциала.
6) Производная и дифференциал функции, заданной параметрически.