Лекция 10 . Теоремы о среднем для производных.
П.1 Локальный экстремум функции.
называется точкой локального максимума функции
|
, определенной в некоторой окрестности
|
. Если неравенство строгое для всех
|
, то говорят о строгом локальном максимуме.
называется точкой локального минимума функции
|
, определенной в некоторой окрестности
|
. Если неравенство строгое для всех
, то говорят о строгом локальном минимуме. Если функция имеет в точке
|
локальный минимум или локальный максимум, то говорят о локальном экстремуме функции.
ПРИМЕР 1.(не характерный)
имеет, по определению, в точке
|
строгий локальный максимум, поскольку
|
, не смотря на то, что убывает в левосторонней окрестности и возрастает в правосторонней окрестности точки
|
. Следующая теорема устанавливает необходимые условия локального экстремума.
ТЕОРЕМА 1. (Ферма)
имеет локальный экстремум, то либо функция не имеет производную в точке
|
, либо эта производная равна нулю.
ДОК. (1) Если производной в точке
|
нет, то теорема доказана (см. пример 1). (2) Пусть производная
|
определяется знаком выражения
|
, а он меняется в зависимости от знака
|
. Последнее противоречит условию локального экстремума в точке
|
.
П.2 Теоремы о среднем для производных.
ТЕОРЕМА 2. (Ролля)
1) непрерывна на отрезке [a;b],
2) дифференцируема в каждой точке интервала (a;b), 3) принимает на концах отрезка равные значения :
|
,
то существует на интервале (a;b) такая точка c , для которой
|
.
ДОК. По доказанной теореме непрерывная на [a;b] функция принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения :
|
. Если одна из точек c1или c2лежит на интервале (a,b) , то теорема доказана, поскольку эта точка является точкой локального экстремума и по теореме 1
|
, но они совпадают с концами отрезка, то
|
и функция постоянная на отрезке[a;b] и
|
.
удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, кроме одного: в точке
|
функция не имеет производную. При этом утверждение теоремы не выполняется:
|
.
ТЕОРЕМА 3. (Коши)
1) непрерывны на отрезке [a;b], 2) дифференцируемы в каждой точке интервала (a;b), 3)
|
,
то существует на интервале (a;b) такая точка c , для которой
.
ДОК. Из условия теоремы следует, что
. Действительно, если
|
удовлетворяет условиям теоремы Ролля и тогда найдется такая точка c , для которой
|
, что противоречит условию 3) теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию
|
.
удовлетворяет условию теоремы Ролля. Тогда найдется
|
, для которой
Из последнего равенства следует утверждение теоремы.
ТЕОРЕМА 4 (Лагранжа)
1) непрерывна на отрезке [a;b],
2) дифференцируема в каждой точке интервала (a;b), то существует на интервале (a;b) такая точка c , для которой
.
ДОК. Следует из теоремы Коши для
|
.
П.3 Следствия из теорем о среднем.
ТЕОРЕМА 5. ( правило Лопиталя для раскрытия неопределенности
|
)
1) непрерывны на [a;b) , ( а и b не обязательно конечны), 2) дифференцируемы в каждой точке интервала (a;b), 3)
|
,
,
.
выполняются условия теоремы Коши и найдется
|
.
В теореме допускается случай
|
.
ТЕОРЕМА 6. ( правило Лопиталя для раскрытия неопределенности
|
)
1) непрерывны на [a;b) , ( а и b не обязательно конечны), 2) дифференцируемы в каждой точке интервала (a;b), 3)
|
,
.,
.
ДОК. (1) Пусть А – конечное число. Тогда
|
, т.е.
.(условие 5)) Применим для отрезка
|
теорему Коши. Тогда для некоторой точки
|
и для всех x , для которых
|
.
.
Если x достаточно близок к a , то из
|
.
из этого отрезка выполняется неравенство :
|
постоянная.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1) Локальный экстремум функции, теорема Ферма.
2) Теоремы о среднем для производных. Теорема Ролля.
3) Теоремы о среднем для производных. Теорема Коши.
4) Теоремы о среднем для производных. Теорема Лагранжа. Теорема Лопиталя для раскрытия неопределенностей
|
.
5) Теорема Лопиталя для раскрытия неопределенностей
|
.