Лекция 11 . Формула Тейлора.
П.1 Производные и дифференциалы высших порядков.
ОПР. Производной второго порядка называют производную от функции первой производной. В общем случае,
.
ПРИМЕРЫ Доказать, что
ДОК. По индукции. (3) 1) при n = 1
|
.
ПРИМЕР. Найти вторую производную функции, заданной параметрически:
|
.
ОПР. Дифференциалом второго порядка функции , называют дифференциал от первого дифференциала. В общем случае,
.
Так
.
ПРИМЕР. Форма второго дифференциала не инвариантна.
ДОК. Если сложная функция получена композицией функций
и
|
.
Если y – независимая переменная, то
|
, т.е. форма второго дифференциала неизменна, если
|
, в остальных случаях при переходе к сложной функции второй дифференциал изменяет свою форму.
ПРИМЕР. (Бином Ньютона)
Найдем коэффициенты многочлена
|
.
коэффициенты бинома Ньютона. Тогда
.
П.2 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано и ее приложения.
ПРИМЕР. ( многочлен Тейлора)
, имеющей n производных в точке
|
, можно написать многочлен Тейлора:
|
.
Заметим, что многочлен бинома Ньютона является многочленом Тейлора функции
|
называют остатком формулы Тейлора. Отметим некоторые свойства функции
|
:
.
.
.
ТЕОРЕМА 1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано)
Если существует производная
|
.
ДОК. Применим правило Лопиталя для вычисления предела:
.
П. 3 Формулы Тейлора для основных элементарных функций.(
|
)
,
,
,
,
,
,
.
,
.
П.4 Формула для эквивалентной бесконечно малой функции.
ТЕОРЕМА 2.
бесконечно малая функция в точке
|
. Тогда
.
.
П.5 Таблица (расширенная) эквивалентностей элементарных функций.
|
.
.
,
.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.
1) Производные и дифференциалы высших порядков. Вторая производная функции, заданной параметрически.
2) Многочлен Тейлора, формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
3) Формула Тейлора для элементарных функций
(с доказательством).
4) Формула для эквивалентной бесконечно малой функции. Таблица эквивалентностей.