П.2 Предел функции.

 

Определение1. Число а называется пределом функции у=f(х), при х стремящемся к х0 (), если для любой последовательности{xn} сходящейся к x0 последовательность{f(xn)=yn} сходится к а.

Из определения 1 следует, что для предела функции справедливы все теоремы, справедливые для предела последовательности.

Определение2. Число а называется пределом функции у=f(x) при х стремящимся к х0 (),если "e>0 $ d>0 "х ½х-х0½<dÞ½f(x)-a½<e. Легко показать, что определение1 равносильно определению2. Мы будем пользоваться обоими этими определениями.

Теорема1. (1-ый замечательный предел)

Доказательство.1)Пусть х>0, т.е. х-угол, измеренный в радианах, лежащий в 1-ой четверти. Дан тригонометрический круг (окружность радиуса R=1). Рассмотрим треугольник ОАВ, сектор ОАВ и треугольник ОСВ.

SOAB< Sсектора< SOCB

ОВ ·АН<хR<ОВ·СВ

OB·AH<xR<OB·CB

OB=R=1, AH=sinx, CB=tgx.

Таким образом 0<sinx<x<tgx. Поделим все части этого неравенства на sinx>0.

0<1<<. Перевернём все дроби

0<cosx<<1. (1)

При х®0, cosx®1, 1®1.

По лемме о 2-х милиционерах ®1при х®0.

2) Пусть -х<0, т.е. –х-угол в IV четверти. В неравенстве (1) везде вместо х подставим -х

 

cos(-x)=cosx, ==

 

Ни одна величина в (1) не изменилась, значит неравенство справедливо при -хÎIV четверти. Теорема1 доказана.

 

Теорема2. (2-ой замечательный предел)

(или в равносильной формулировке ).

Теорема3. (Бином Ньютона)

, где

или в более подробной записи

(а+b)n=an+nan-1b+Cn2an-2b2+Cn3an-3b3+¼+Cnn-2a2bn-2+nan-1b+bn.