Геометрический смысл производной.

 

Рассмотрим функцию у=f(x) определённую на отрезке [a,b].

Пусть А(х₀,f(x)) и B(x+x₀, f(x₀+Dx))- две точки на кривой у= f(x).

Через точки А и В проходит прямая, которая является секущей для линии у=f(x).

C(x₀+Dx,f(x₀)), Ðj-угол между секущей и положительным направлением оси ОХ. tgj=.

Пусть точка В движется по линии к точке А, т.е. Dх®0. Тогда в пределе точка В совпадает с точкой А, секущая займёт предельное положение и превратится в касательную, угол j превратится в угол a между касательной и положительным направлением оси ОХ, tgj превратится в tga.

 

tga=tgj==f`(x₀).

Таким образом f`(x₀)- угловой коэффициент касательной,проведённой к линии y=f(x) в точке A(x₀, f(x₀)).(Вспомнить геометрический смысл углового коэффициента k=tga).

 

Тогда уравнение касательной имеет вид y-f(x₀)=f`(x<sub>0</sub>)(x-x<sub>0</sub>) или y=f(x<sub>0</sub>)+f`(x₀)(x-x₀).

 

Теоремы о дифференцируемых функциях.