Теорема4.(теорема Коши).

Пусть даны 2 функции f(x) и g(x) определённые и непрерывные на [a,b], дифференцируемые на (a,b), g`(x)¹0, " xÎ(a,b).Тогда $ сÎ(a,b), что

Доказательство.

Построим вспомогательную функцию Y(x)=f(x)-f(a)-

Покажем, что g(b)¹g(a). Если бы g(b)=g(a), то функция у=g(x) удовлетворяла бы теореме Ролля и тогда $ сÎ(a,b), что g`(c)=0, но по условию теоремы Коши g`(x)¹0 " xÎ(a,b).

Функция Y(x) удовлетворяет теореме Ролля ( легко показать самостоятельно). Поэтому $сÎ(a,b), что Y`(c)=0. Y`(x)=f`(x)-

Y(c)=f`(c)-Отсюда

Раскрытие неопределённостей.

1) Рассмотрим 2 функции f(x) и g(x), f(x)=0 g(x)=0 (x), g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а (за исключением может быть самой точки а). Если g`(x)¹0 в этой окрестности и существует конечный предел то

2) . Аналогично 1) пункту только f(x)=¥ и g(x)=¥

Такой способ вычисления пределов называется правилом Лопиталя.

Пример1.

Пример2.

Решение примеров.

I. Вычисление пределов.

2. .

6x²-5x+1=0 x_1,2= x₁=1/2, x₂=1/3

8. Разделим числитель и знаменатель дроби на х⁴(наивысшая степень)

( )

10. ¥

11.

12.

13.

Применение 1-ого замечательного предела.

или

14.

15.

16.

17.

18.

Пусть х-3=t при x®3 t®0 x=t+3

Применение 2-ого замечательного предела.

(1^¥)

19.

20.

21.

22.

Вычисление производной.

1.y=cos2x, y`=(cos2x)`=-sin2x(2x)`=-2sin2x

2. y=e^tgxy`=(e^tgx)`=e^tgx(tgx)`=e^tgx

3. (arcsine)`=

5. (log₂sinx tglnx)`=(log₂sinx)`tglnx+log₂sinx(tglnx)`=

+log₂sinx

6. y=x^shxпрологарифмируем: lny=lnx^shx;lny=shx lnx, продифференцируем выражение

(lny)`=(shx lnx)`; =(shx)`lnx+shx(lnx)`;y`=chx lnx+shx ;

y`=(chx lnx+shx 1/x)y; y`=(chx lnx+shx1/x)x^shx;

y=lny=ln

lny=; (lny)`=; y`=;

8. y=arcsin((chx)^thx) (chx)`=shx, (thx)`=, (cthx)`=

y`=

Рассмотрим вспомогательную функцию

u=(chx)^thxlnu=ln(chx)^thx(lnu)`=(thx ln chx)`

u`= u`=

y`=.

9. Провести касательную к гиперболе у=так чтобы она проходила через начало координат.

Т.к. гипербола не проходит через начало координат точку О (0,0) (), то точка О(0,0) - не точка касания. Пусть х₀- абсцисса точки касания.

Y=f(x₀)+f `(x₀)(x-x₀)- уравнение касательной к линии у=f(x) в точке с абсциссой х₀

y=f(x)= f(x₀)=

f`(x)=

f`(x₀)=

Тогда уравнение касательной к нашей гиперболе имеет вид

у= (1)

Воспользуемся тем, что касательная проходит через точку О(0,0),подставим в (1) вместо х и у координаты точки О.

0=домножим на (х₀+5)²обе части равенства

0=(x₀+9)(x₀+5)+4x₀x₀²+14x²+45+4x₀=0

x₀²+18x₀+45=0 x₀₁=-3, x₀₂=-15

Т.е. таких касательных 2.

Пусть х₀=-3

y= y=-x

Пусть х₀=-15

у=-1/25х.

Часть2. Интегрирование.

Неопределённый интеграл.

Определение1. Функция у=F(x) называется первообразной для функции у=f(x), если F`(x)=f(x).

Например для функции f(x)=cosx первообразной является функция F(x)=sinx, т.к. F`(x)=(sinx)`=cosx, для функции f(x)=x²- первообразная F(x)=т.к. F`(x)=

Теорема1.Если f(x) определена и дифференцируема на [a,b], f`(x)=0 " xÎ[a,b], то f(x)=C

(с-const).

Доказательство. Пусть х₀- произвольная фиксированная точка отрезка [a,b], xÎ[a,b]-текущая точка. К отрезку [х₀,х] (при х₀<х) или [х,х₀] (при х₀>х) применима теорема Лагранжа, получаем

f(x)-f(x₀)=f`(c)(x-x₀), где сÎ[х₀,х] (или[х,х₀]) но f`(x)=0, т.к.cÎ[a,b], значит f(x)=f(x₀).

Т.е. значение функции в любой точке х равно значению функции в фиксированной точке т.е. f(x)- постоянная.

Теорема2.Если F(x)- первообразная для f(x), то F(x)+c- первообразная для f(x) и других первообразных нет.(здесь с- произвольное число).

Доказательство. а) Докажем, что F(x)+c- первообразная для f(x).

(F(x)+c)`=F`(x)+c`=f(x)+0=f(x),т.е.F(x) первообразная для f(x).

б) Пусть F₁(x) и F₂(x)- две первообразные для f(x).

Тогда (F₁(x)-F₂(x))`=F₁`(x)-F₂`(x)=f(x)-f(x)=0.

Следовательно по теореме1

F₁(x)-F₂(x)=const F₁(x)-F₂(x)=c, F₁(x)=F₂(x)+c.

Таким образом, если F(x)- первообразная для f(x), то F(x)+c- множество всех первообразных для f(x).

Определение2. Неопределённым интегралом от функции f(x) называется множество всех первообразных для f(x) т.е.