Теорема.Если то
Доказательство. Пусть ax+b=t (замена переменной)
dt=(ax+b)`dx dt=adx, dx= Тогда
Примеры.
1. (Здесь вместо х стоит 2х a=2, b=0)
2. a=5, b=3
3. a=7, b=-8
4. a=1/3, b=0
5. a=2, b=-a
6. a=a, b=0
7.
8.
=
Расширим таблицу интегралов используя примеры 5-8.
1.
2.
3.
4.
5. ; a¹0- проверить по определению неопределённого интеграла.
Метод интегрирования по частям.
формула интегрирования по частям.
Примеры.
1.
=
2.
=
4. =
= -второй интеграл опять вычисляем по частям= =
= -
=-
=e-2x.
Интегрирование методом замены переменной при наличии производной.
1.
2.
3. ½lnx=t; dt=½=
4.
5.
=1/3t2+c=1/3arctg23x+c.
6. ½t=5x4-7;dt=20x3dx; x3dx=½= =
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трёхчлен Ax2+Bx+C.
1. ½x2+6x-3=(x2+6x+9)-9-3=(x+3)2-12- выделение полного квадрата½=
=½комбинируем теорему о линейной замене (вместо х стоит х+3, a=1, b=3)
с дополнительной таблицей 5.(a2=12, a=.½=
2.
=(применим дополнительную таблицу 2)
=
3. ½найдём производную от знаменателя (х2-6х+3)`=2x-6.
преобразуем числитель так чтобы в нём появилась производная от знаменателя.
5х+1=5(х+
=
Вычислим отдельно первый интеграл
½x2-6x+3=t; dt=(2x-6)dx½=
Вычислим второй интеграл как в примерах 1 и 2.
=80тогда получаем
4. ½(х2-3х+22/5)`=2x-3; 3x+2=3(x+2/3)=
=½=.
½x2-3x+22/5=t; dt=(2x-3)dx½=
=
=( дополнительная таблица формула 5)=
= Итак получаем
Определённый интеграл.
Определение. Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b], азовём число, равное F(b)-F(a), где F(x)-первообразная для f(x) на отрезке [a,b].
Примеры.
1.
2.
3. ½x2=t, dt=2xdx; x=0Þ t=0 xdx=; x=½=
=
4. ½x=u du=dx, cosxdx=dv v=½=
=
Вычисление площади криволинейной фигуры.
Пусть у=f1(x) и y=f2(x) непрерывные на [a,b] функции, f2(x)³f1(x) на [a,b], тогда площадь фигуры ограниченная линиями x=a, x=b, y=f2(x), y=f1(x) вычисляется по формуле
y
y=f2(x)
a b x
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=, у=х2, х=0, х=1.
y=x2 S=
y= =
Несобственные интегралы.
Определение. Интеграл вида или называется несобственным.
По определению
Примеры.
1.
2. - не существует,
следовательно данный интеграл расходится.
3. ½lnx=t; dt=; x=1 ln1=0Þt=0; x=b lnb=t½=
b®+¥
=.
Следовательно, данный интеграл расходится.