Базис векторов. Координаты вектора относительно базиса

1. Введенные линейные операции позволяют из чисел и векторов составлять выражения вида

= a₁ + a₂ + … + a_n,

которые называются линейной комбинацией векторов , , …, с коэффициентами a₁, a₂, …, a_n.

2. Система векторов , , …, называется линейно независимой, если равенство

a₁ + a₂ + … + a_n = ,

возможно тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю. В противном случае она называется линейно зависимой.

3. Базисом векторного пространства называется упорядоченная система векторов {} такая, что:

1) эта система линейно независима,

2) любой вектор пространства является линейной комбинацией векторов этой системы.

4. Число векторов в базисе называется размерностью пространства.

5. Базис называется ортонормированным, если базисные векторы являются ортами и ортогональны (перпендикулярны) друг другу. Для трехмерного пространства обозначение: .

6. Если – базис трехмерного пространства, то для любого вектора этого пространства существует единственная тройка чисел
х₁, х₂, х₃, таких, что

. (5)

Говорят, что вектор разложен по векторам базиса, а числа х₁, х₂, х₃ называются коэффициентами разложения.

7. Декартовыми координатами вектора в базисе называются коэффициенты разложения этого вектора по базису. Обозначение: ={х₁; х₂; х₃}. Один и тот же вектор в двух различных базисах имеет разные декартовы координаты.

8. Рассмотрим векторное пространство R³ и пусть , – два различных базиса. По формуле (5) имеют место разложения , и . Эти равенства можно представить в виде матричного равенства: . Матрица называется матрицей перехода от базиса к базису .

9. Пусть произвольный вектор в базисе по формуле (5) имеет разложение и пусть в базисе имеет разложение . Связь между старыми координатами и новыми координатами выражается формулой:

,

где А – матрица перехода от первого базиса ко второму.