Правило сложения дисперсий заключается в равенстве общей дисперсии сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий, т.е.:
, (42)
где общая дисперсия; (43)
внутригрупповые дисперсии; (44)
средняя из внутригрупповых дисперсий; (45)
межгрупповая дисперсия; (46)
внутригрупповые средние; (47)
общая средняя. (48)
Значение общей средней приведено в ячейке D65, а в ячейках D66 и D67 – среднее квадратическое отклонение и дисперсия зависимой переменной. Групповые средние приведены в ячейках АУ3:АУ7. Внутригрупповые дисперсии вычисляются с использованием функции ДИСПР, например, в ячейке АК3 записана формула = ДИСПР (С10:С15). Средняя из внутригрупповых дисперсий отображена в ячейке D68, в которой записана формула:
= СУММПРОИЗВ (АК3:АК7;Х3:Х7).
Для вычисления межгрупповой дисперсии в ячейку D69 записана формула = СУММПРОИЗВ (СТЕПЕНЬ(AJ3:АJ7-$D$65;2);X3:X7).
Как следует из данных табл. 2 правило сложения дисперсий выполняется, т.к. 11,25=1,62+9,63.
Для того, чтобы выяснить влияет ли контролируемый фактор на результативный признак, а при наличии такого влияния оценить его степень можно применить однофакторный дисперсионный анализ. Его логика рассуждений сводится к следующему:
Пусть - математическое ожидание результативного признака, соответственно в группах . Если при изменении уровня фактора групповые математические ожидания не изменяются, то результативный признак не зависит от фактора А, в противном случае такая зависимость имеется.
В связи с тем, что числовые значения математических ожиданий неизвестны, то возникает задача проверки гипотезы
Проверить данную гипотезу можно при соблюдении следующих требований при каждом значении уровня фактора:
1) наблюдения независимы и проводятся в одинаковых условиях;
2) результативный признак имеет нормальный закон распределения с постоянной для различных уровней генеральной дисперсией.
Для ответа на второй вопрос вычислим значения относительных показателей асимметрии и эксцесса (ячейки В71, В72). Учитывая, что каждый из них меньше 1,5 эмпирическое распределение прибыли банков не противоречит нормальному. Проверим выполнение гипотезы:
(49)
с помощью критерия Бартлетта:
(50)
где ; (51)
l=n-m; ; (52)
; (53)
; (54)
k=m-1; (55)
- дисперсия в j-ой группе;
-выборочная дисперсия в j-ой группе. (56)
При выполнении гипотезы о равенстве дисперсий, величина w имеет распределение близкое к с к=m- степенями свободы.
При соблюдении условия
гипотеза (49) подтверждается.
Здесь - правосторонняя критическая точка при заданном уровне значимости , определяющая критический интервал ( ).
Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий основывается на сравнении оценок и . В математической статистике доказывается, что если гипотеза о равенстве математических ожиданий подтверждается, то величина
(57)
имеет F – распределения с числом свободы k=m-1 и =n-m, т.е.
При использовании F – критерия строится правосторонняя область ( ), т.к. обычно . Если расчетное значение F – критерия попадает в указанный интервал, то гипотеза о равенстве групповых математических ожиданий отвергается, т.е. считаем, что фактор А влияет на результативный признак Y и можно измерить степень этого влияния с помощью выборочного коэффициента детерминации.
Рассчитаем значение перечисленных показателей. В ячейке D72 записана формула =n-m, т.е. вычисляется значение ;
Ячейка D73 содержит формулу =СУММПРОИЗВ(СТЕПЕНЬ(W3:W7-1;(-1))) – вычисляется значение ;
Ячейка D74: =1/D72 – вычисляется значение ;
Ячейка D75: =СУММПРОИЗВ(W3:W7;AK3:AK7)*D74 – вычисляется значение ;
Ячейка D76: =1+(D73-D74)/(3*4) – вычисляется значение q;
Ячейка D77: =СУММПРОИЗВ(W3:W7-1;LN($D$75/AZ6:AZ10))/D76 – вычисляется значение критерия Бартлетта;
Ячейка D78: =ХИ20БР(0,05;4) – определяется значение правосторонней критической точки .
В связи с тем, что =4,18 не попадает в критическую область (9,49; ), то гипотеза принимается и можно приступить к проверке гипотезы . Для этого сформируем массив значений результативного признака по группам (табл. 8).
Обратимся к режиму работы «Однофакторный дисперсионный анализ». Значения параметров, установленные в одноименном диалоговом окне, показаны на рис. 15.