Дифференциальные уравнения движения голономной механической системы в обобщенных координатах, или уравнения Лагранжа второго рода, имеют вид:
(14.1)
где Т- кинетическая энергия системы; - обобщенные координаты; - обобщенные скорости; - обобщенные силы; s - число степеней свободы системы.
При составлении уравнений Лагранжа второго рода обычно используются различные способы вычисления обобщенных сил.
Первый способ основан на определении обобщенной силы как коэффициента при вариации , соответствующей обобщенной координаты в выражении возможной работы активных сил системы:
.
Для вычисления обобщенной силы , системе сообщается возможное перемещение ,...,,,…,, ...,, на котором изменяется только обобщенная координата при неизменных других координатах и определяется возможная работа активных сил на этом перемещении:
,
откуда
.
Второй способ пригоден в случае, если система находится в потенциальном поле сил:
,
причем, потенциальная энергия системы должна быть выражена как функция обобщенных координат.
Основное назначение уравнений Лагранжа второго рода - составление дифференциальных уравнений движения механической системы, подчиненной идеальным удерживающим голономным связям. Если среди связей, наложенных на систему, имеются неидеальные, то реакции этих связей следует ввести в число активных сил.
Составление дифференциальных уравнений движения с помощью уравнений Лагранжа второго рода рекомендуется проводить в следующем порядке:
1. Определить число степеней свободы и выбрать обобщенные координаты.
2. Записать уравнения Лагранжа (14.1) с учетом выбранных обобщенных координат.
3. Вычислить кинетическую энергию системы как функцию обобщенных координат и обобщенных скоростей.
4. Найти производные от кинетической энергии, входящие в левую часть уравнений Лагранжа.
5. Найти обобщенные силы.
6. Подставить результаты, полученные в п. 4 и 5, в уравнения п.2. Если в задаче требуется найти уравнения движения системы, то следует проинтегрировать полученную систему дифференциальных уравнений движения, определив постоянные интегрирования по начальным условиям.