Образец решения контрольной работы № 1.
Задание 1. Даны вершины А(–1; 0), В(5; 2), С(2; 4) треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение медианы CM, проведенной из вершины С; 3) уравнение высоты СH, проведенной из вершины С; 4) уравнение прямой L, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ; 5) длину высоты СH; 6) величину внутреннего угла А. Сделать чертеж.
Решение. Изобразим заданный треугольник в декартовой системе координат Oxy.
 |
1) Длину стороны АВ найдем, используя формулу расстояния между двумя точками на плоскости: 
.
Подставляя в нее координаты точек А(–1; 0) и В(5; 2), получим: 
(ед.).
2) По определению медианы точка М медианы CМ делит сторону АВ пополам. Следовательно, ее координаты определяются по формулам деления отрезка пополам:
, 
.
Таким образом, найдена точка М(2; 1).
Уравнение медианы CМ найдем как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки C и М, по формуле: 
или 
, или 
.
По свойству пропорции отсюда следует уравнение CМ:
или 
.
3) Уравнение высоты СH как прямой, проходящей через точку С перпендикулярно стороне АВ, будем искать в виде 
, где угловой коэффициент 
найдем из условия перпендикулярности прямых СH и АВ: 
.
Угловой коэффициент 
определим, используя формулу углового коэффициента прямой: 
. Следовательно, 
.
Уравнение высоты примет теперь вид: 
или 
.
4) Аналогично, уравнение прямой L, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ, будем искать в виде: 
, где угловой коэффициент 
прямой L найдем из условия параллельности прямых L и AB: 
.
Уравнение прямой L примет вид: 
или 
.
5) Длину высоты СН найдем, используя формулу расстояния от точки С до прямой АВ: 
, где 
есть общее уравнение стороны АВ.
Найдем уравнение стороны АВ: 
или 
, или 
.
Подставляя в найденное уравнение координаты точки С, получим: 
(ед.).
6) Из рисунка видно, что внутренний угол А треугольника АВС есть угол, на который нужно повернуть сторону АВ в положительном направлении (т. е. против часовой стрелки) до совмещения ее со стороной АС. Поэтому тангенс угла А найдем по формуле: 
.
Угловой коэффициент 
(найден в п. 3). Аналогично найдем 
. Следовательно, 
, тогда 
(рад.).
Ответ: 1) длина стороны АВ: 
ед.; 2) уравнение медианы CМ: 
; 3) уравнение высоты СН: ; 4) уравнение прямой L: 
; 5) длина высоты СН: 
ед.; 6) величина внутреннего угла А: рад.
Задание 2. Составить уравнение и построить линию, для каждой точки которой выполняется следующее условие: отношение расстояний до точки F(–1; 0) и прямой 
равно 
.
Решение. Сделаем схематический чертеж по условию задачи.
 |
1) Предположим, что М(x; y) – текущая точка искомой линии. Тогда точка N(–4; y) является ее проекцией на прямой x = –4.
2) По условию задачи выполняется следующее отношение расстояний: 
или 
.
3) Используя формулу расстояния между двумя точками, выразим полученное буквенное равенство в координатной форме и преобразуем его к виду канонического уравнения одной из кривых второго порядка (окружности, эллипса, гиперболы или параболы):
|
или 
, или 
.
Получили каноническое уравнение эллипса: 
, у которого полуоси есть 
и 
.
4) Построим линию по ее уравнению.
Ответ: 
эллипс.
Задание 3. Написать разложение вектора 
по векторам 
, 
, 
.
Решение. Требуется представить вектор 
в виде 
, где a, b и g – неизвестные числа. Согласно определения произведения вектора на число и суммы векторов имеем: 
, 
, 
и 
. Применяя определение равенства двух векторов получим линейную систему трех уравнений относительно неизвестных a, b, g: 
которую решим по формулам Крамера. Для этого составим четыре определителя 3-го порядка и вычислим их по правилу треугольников:
.
Т. к. 
, то система имеет единственное решение.
.
.
.
Т. о., по формулам Крамера: 
, 
, 
.
Ответ: 
.
Задание 4. Даны вершины A1(1; –1; 2), A2(2; 1; 2), A3(1; 1; 4),
A4(6; –3; 8) пирамиды A1A2A3A4. Найти: 1) величину угла между ребрами A1A3 и A1A4; 2) площадь грани A1A2A3; 3) уравнение плоскости, содержащей грань A1A2A3; 4) уравнение высоты пирамиды, проведенной через вершину A4. Сделать схематический чертеж.
Решение. Сделаем схематический чертеж.
1) Найдем векторы 
и 
, проходящие через 2 заданные точки:
,
.
Находим косинус угла между векторами по формуле:
. Следовательно, 
(рад.).
2) Гранью A1A2A3 пирамиды A1A2A3A4 является треугольник A1A2A3, площадь которого определим по формуле: 
.
Координаты вектора 
(см. п. 1). Аналогично найдем координаты вектора 
.
Вычислим теперь векторное произведение векторов 
и :
.
Тогда длина векторного произведения равна:
.
Т. о., получим: 
(кв. ед.).
3) Уравнение искомой плоскости составим как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки A1, A2, A3 в форме определителя 3-го порядка: 
или 
, или 
, или 
, или 
, или 
.
4) Уравнение высоты, опущенной из точки А4 на грань А1А2А3 найдем как прямую, проходящую через точку А4 перпендикулярно плоскости А1А2А3 в форме канонических уравнений прямой 
, где вектор 
является направляющем вектором прямой (коллинеарен прямой). В п. 3 было найдено уравнение плоскости А1А2А3: , следовательно, ее нормальным вектором является вектор 
. Т. к. вектор 
коллинеарен высоте, то его можно выбрать в качестве направляющего вектора прямой. Следовательно, искомое уравнение высоты имеет вид: 
.
Ответ: 1) величина угла между ребрами A1A3 и A1A4: рад.; 2) площадь грани A1A2A3: 
кв. ед.; 3) уравнение плоскости A1A2A3: ; 4) уравнение высоты из вершины A4: .
2.1. Контрольная работа № 2. «Введение в анализ. Дифференциальное исчисление».
1. Найти пределы функций.
1. 1) 
при: а) 
; б) 
; в) 
;
2) 
; 3) 
.
2. 1) 
при: а) 
; б) ; в) ;
2) 
; 3) 
.
3. 1) 
при: а) ; б) 
; в) ;
2) 
; 3) 
.
4. 1) 
при: а) ; б) 
; в) ;
2) 
; 3) 
.
5. 1) 
при: а) ; б) 
; в) ;
2) 
; 3) 
.
6. 1) 
при: а) ; б) 
; в) ;
2) 
; 3) 
.
7. 1) 
при: а) 
; б) 
; в) ;
2) 
; 3) 
.
8. 1) 
при: а) ; б) 
; в) ;
2) 
; 3) 
.
9. 1) 
при: а) ; б) ; в) ;
2) 
; 3) 
.
10. 1) 
при: а) ; б) 
; в) ;
2) 
; 3) 
.
2. Найти производные заданных функций.
1. 1) 
; 2) 
;
3) 
.
2. 1) 
; 2) 
;
3) 
.
3. 1) 
; 2) 
;
3) 
.
4. 1) 
; 2) 
;
3) 
.
5. 1) 
; 2) 
;
3) 
.
6. 1) 
; 2) 
;
3) 
.
7. 1) 
; 2) 
;
3) 
.
8. 1) 
; 2) 
;
3) 
.
9. 1) 
; 2) 
;
3)
.
10. 1) 
; 2) 
;
3) 
.
3. Провести полное исследование функции и построить ее график.
1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
7. 
. 8. 
.
9. 
. 10. 
.
4. Доказать, что функция z = f(x; y) удовлетворяет данному уравнению.
1. 
, если 
.
2. 
, если 
.
3. 
, если 
.
4. 
, если 
.
5. 
, если 
.
6. 
, если 
.
7. 
, если 
.
8. 
, если 
.
9. 
, если 
.
10. 
, если 
.