Часть 1. ПРОГРАММА КУРСА Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

Федеральное агентство по образованию

 

Волгоградский государственный архитектурно-
строительный университет

Волжский институт строительства и технологий

(филиал) ВолгГАСУ

 

Кафедра высшей математики

 

 

Методические указания

Для студентов экономической специальности

Заочной и ускоренной форм обучения

Волжский, 2010 год Абрамов Е.В., Илларионова Е.Д., Волченко Е.Ю.  

Содержание

 

Часть 1. ПРОГРАММА КУРСА ……………………………………….
Часть 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ ...…………………….
Часть 3. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ …..…………………...………….
Часть 4. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
Список литературы ……………………………………………………..

 

Часть 1. ПРОГРАММА КУРСА

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

2) Основные задачи на плоскости. Уравнение линии на плоскости. Различные виды уравнений прямой. Угол между двумя прямыми, взаимное расположение двух… 3) Понятие об уравнении поверхности и уравнения линии и точки в пространстве.…

Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.

1) Постоянные и переменные величины. Множества, обозначения и символы теории множеств, числовые множества. Функции и способы ее задания. Простейшие, сложные и элементарные функции.

2) Предел Функции в точке и в бесконечности, односторонние пределы. Бесконечно малые, бесконечно большие и ограниченные функции; их основные свойства. Теоремы о функциях, имеющих предел. Неопределенности различных видов. Первый замечательный предел. Основные понятия о числовой последовательности и ее пределе. Второй замечательный предел. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Формулировки основных свойств функций, непрерывных на отрезке. Классификация точек разрыва.

3) Определение производной. Геометрический и механический смысл производной, уравнение касательной к плоскости кривой. Дифференцируемость функции в точке и на множестве. Производная сложной функции. Определение и дифференцирование обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Формулы и правила дифференцирования элементарных функций.

4) Дифференциал функции, его геометрический смысл и свойства. Параметрическое задание функции; производная функции, заданной параметрическими уравнениями. Производные и дифференциалы высших порядков. Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ферма, теорема Ролля, теорема Лагранжа, правило Лопиталя.

5) Определение монотонных функций, достаточные признаки монотонности. Точки экстремума, экстремум, необходимые и достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значения функции. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба и асимптоты графика функции. Исследование функций и построение их графиков.

Функции нескольких переменных.

Функции двух и трех переменных, основные понятия и обозначения. Частные приращения и частные производные. Полное приращение и полный дифференциал. Частные производные высших порядков. Экстремум функции двух переменных. Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов.

Интегральное исчисление.

1) Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Непосредственное интегрирование, интегрированпие6 заменой переменной, интегрирование по частям. Специальные приемы интегрирования некоторых тригонометрических выражений и функций, содержащих квадратный трехчлен. Интегрирование простейших видов иррациональностей. Понятие о «неберущихся» интегралах и неэлементарных функциях.

2) Определение и основные свойства определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом, теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Несобственные интегралы от непрерывной функции по бесконечному промежутку. Интеграл Пауссона.

3) Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Вычисление площадей плоских фигур, объемов тел вращения и длин дуг плоских кривых.

Дифференциальные уравнения.

1) Понятие о дифференциальном уравнении, его порядке и решении. Дифференциальные уравнения первого порядка: понятие решения; постановка задачи Коши, ее геометрический и механический смысл; понятия общего и частного решений. Интегрирование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными и линейных уравнений первого порядка.

2) Дифференциальные уравнения второго порядка: понятие решения; постановка задачи Коши, ее геометрический и механический смысл; понятия общего и частного решений. Общие свойства решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Понятие о комплексных числах и комплексных функциях действительного аргумента, формула Эйлера. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью и их решение методом неопределенных коэффициентов.

Ряды.

1) Числовые ряды, основные понятия. Исследование сходимости геометрического и гармонического рядов. Необходимые условия сходимости. Основные свойства сходящихся рядов. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: первый признак сравнения, признак Даламбера. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак Лейбница, оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.

2) Понятие о функциональном ряде. Степенной ряд. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Свойства сходящихся степенных рядов. Разложение некоторых элементарных функций в степенной ряд Маклорена. Условия сходимости ряда Маклорена к разлагаемой функции. Применение рядов Маклорена к приближенным вычислениям значений функций и к вычислению определенных интегралов.

Теория вероятностей.

2) Определение дискретной случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Способы задания дискретной случайной величины.… 3) Непрерывные случайные величины. Определение интегральной функции…

Рекомендуемая литература.

1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Общий курс высшей математики. – М.: Просвещение, 1995. – 464 с.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. М.: Высшая школа, 1997. – 400 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1997. – 479 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2-х ч. Ч. 1. – 4-е изд., испр. и доп. – М.: Высшая школа, 1986. – 304 с.; Ч. II. – 4-е изд., испр. и доп. – М.: Высшая школа, 1986. – 415 с.

5. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – 6-е изд. – М.: Наука, 1986. – 576 с.

6. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1977. – 352 с.

 

Часть 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ

Самостоятельная работа над учебным материалом является составной частью обучения студента дневной формы и основной формой обучения студента-заочника. Она складывается из чтения учебника или конспекта лекций, решения задач, самопроверки и выполнения контрольных работ или типовых расчетов. Кроме этого, студент может обращаться с вопросами к преподавателю для получения письменной или устной консультации.

Полезно знать и применять на практике следующие основные принципы организации самостоятельной работы по ее отдельным видам.

Чтение учебника.

1) Изучая материалы по учебнику или конспекту, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, проделывая на бумаге все вычисления ( в том числе и те, которые по их простоте пропущены в первоисточнике), воспроизводя имеющиеся чертежи.

2) Особое внимание следует обращать на определение основных понятий и формулировку теорем. Следует подробно разбирать примеры, которые поясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно.

Формулировка каждой теоремы состоит из предположений и утверждения. Все предположения должны обязательно использоваться в доказательстве. Нужно добиваться точного представления о том, в каждом месте доказательства использовано каждое предположение теоремы. Полезно составлять схемы доказательств сложных теорем.

3) Рекомендуется выписывать определения, формулировки теорем, формулы и уравнения на отдельные листы. На полях их следует отмечать вопросы, выделенные для письменной или устной консультации с преподавателем. Опыт показывает, что такие листы помогают не только запомнить основные положения курса, но и могут служить постоянным индивидуальным справочником для студента.

Решение задач.

2) Решение каждого задания должно доводиться до окончательного ответа, которого требует условие. Полученный ответ следует проверить способами,… 3) Решение задач определенного типа нужно продолжать до приобретения твердых…

Самопроверка.

1) После изучения определенной темы по учебнику или конспекту и решения достаточного количества соответствующих задач рекомендуется воспроизвести по памяти определения, выводы формул, формулировки и доказательства теорем, проверяя себя каждый раз по первоисточнику.

В случае неудовлетворительного результата надо еще раз внимательно разобраться в материале учебника и конспекта, порешать задачи.

2) Иногда недостаточность усвоения того или иного вопроса выясняется только при изучении дальнейшего материала. В этом случае надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный раздел.

Консультации.

1) Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач у студента возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается (неясность терминов, формулировок теорем, отдельных задач и др.), он может обратиться к преподавателю для получения от него указаний в виде письменной или устной консультации.

2) В своих запросах студент должен точно указывать, в чем он испытывает затруднения. Если он не разобрался в теоретических объяснениях, в доказательстве теоремы или в выводе формулы по учебнику, то нужно указать, какой это учебник, год его издания, страницу, где рассмотрен затрудняющий его вопрос, и что его затрудняет. Если студент испытывает затруднение при решении задачи, то следует указать характер этого затруднения и привести свой предполагаемый план решения.

3) За консультацией следует обращаться и в случаях, если возникают сомнения в правильности ответов для самопроверки или ответов решаемых задач.

Контрольные работы.

1) В процессе изучения математики студент должен выполнить ряд контрольных работ. Рецензии преподавателя на эти работы позволяют студенту судить о степени усвоения им соответствующего раздела курса; указывают на имеющиеся у него проблемы, на желательное направление дальнейшей работы; помогают сформулировать вопросы для консультации с преподавателем.

2) Не следует приступать к выполнению контрольного задания до решения достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную задачу контрольного задания вызывается тем, что студент не выполнил эти требования.

3) Распределение контрольных работ по семестрам устанавливается кафедрой в соответствии с распределением по семестрам учебного материала и сообщается студентам дополнительно.

Лекции и практические занятия.

Во время экзаменационных сессий для студентов-заочников организуются лекции и практические занятия. Они носят по преимуществу обзорный характер. Их цель – обратить внимание на общую схему построения соответствующего раздела курса, подчеркнуть важнейшие факты, указать главные практические приложения, факты из истории науки.

Кроме того, на лекциях могут быть более подробно разобраны отдельные вопросы программы, отсутствующие или недостаточно полно освещенные в рекомендуемых пособиях.

На практических занятиях рассматриваются типовые задачи и примеры, а также дается образец решения какого-либо варианта контрольной работы с рекомендациями по ее выполнению и оформлению.

Зачеты и экзамены.

При подготовке к экзамену учебный материал рекомендуется повторять по учебнику и конспекту лекций.   Часть 3. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Часть 4. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

1. Даны вершины A(x1; y1), B(x2; y2), C(x3; y3) треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение медианы CM, проведенной из вершины С; 3)… 1. A(1; 1), B(7; 4), C(4; 5). 2. A(1; 1), B(–5; 4), C(–2; 5). 3. A(–1; 1), B(5; 4), C(2; 5). 4. A(–1; 1), B(–7; 4), C(–4; 5).

Основные теоретические сведения.

Аналитическая геометрия на плоскости.

Простейшие задачи на плоскости

2. Если и , то координаты точки , делящей направленный отрезок в отношении , вычисляются по формулам: , . В частности, если точка делит отрезок… 3. Если , и – вершины D , то его площадь вычисляется по формуле: .

Различные виды уравнения прямой на плоскости

5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: . 6. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и : . Угловой… 7. Уравнение прямой в отрезках на осях: , где параметры a и b равны величинам отрезков, которые прямая отсекает от оси…

Расстояние от точки до прямой

11. Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле: .

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

12. Угол между прямыми и вычисляется по формуле: .

13. Условие параллельности двух прямых: прямые и параллельны тогда и только тогда, когда .

14. Условие перпендикулярности двух прямых: прямые и перпендикулярны тогда и только тогда, когда .

Кривые второго порядка

16. Каноническое уравнение окружности с центром в точке и радиусом : (рис. 1). 17. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, одинаково…   Рис. 1 Рис. 2

Элементы векторной алгебры.

2. Если и , то координаты вектора равны или . 3. Два вектора и равны тогда и только тогда, когда 4. Сумма векторов и есть вектор .

Аналитическая геометрия в пространстве.

Различные виды уравнения плоскости

2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору (нормальный вектор): . 3. Неполные уравнения плоскости: а) , – плоскость проходит через начало координат;

Взаимное расположение двух плоскостей

7. Условие параллельности двух плоскостей: плоскость с нормальным вектором и плоскость с нормальным вектором параллельны тогда и только тогда, когда… 8. Условие перпендикулярности двух плоскостей: плоскость с нормальным вектором…

Расстояние от точки до плоскости

9. Расстояние от точки до плоскости с нормальным вектором вычисляется по формуле: .

Различные виды уравнений прямой в пространстве

11. Канонические уравнения прямой: , где вектор – направляющий вектор прямой, – произвольная точка прямой. 12. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки и : . 13. Параметрические уравнения прямой: где – параметр, – направляющий вектор прямой, – произвольная точка прямой.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

15. Условие параллельности двух прямых в пространстве: прямая с направляющим вектором и прямая с направляющим вектором параллельны тогда и только… 16. Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве: прямая с…

Взаимное расположение прямой с плоскостью

18. Условие параллельности прямой и плоскости: прямая с направляющим вектором и плоскость с нормальным вектором параллельны тогда и только тогда,… 19. Условие перпендикулярности прямой и плоскости: прямая с направляющим… 20. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости: прямые с направляющим вектором и с направляющим вектором…

Образец решения контрольной работы № 1.

Решение. Изобразим заданный треугольник в декартовой системе координат Oxy.    

Основные теоретические сведения.

Теория пределов

Основные понятия

1. Постоянное число l есть предел функции y = f(х): или , если для любого сколь угодно малого числа e > 0 существует число d > 0, зависящее от e такое, что из выполнения неравенства следует неравенство .

2. Если существует и x < a, то он называется пределом слева: . Аналогично, если существует и x > a, то он называется пределом справа: . Эти пределы называются односторонними пределами.

3. Функция a(x) называется бесконечно малой функцией при х → а, если . Аналогично, функция b(х) называется бесконечно большой при х → а, если .

4. Если a(x) – бесконечно малая функцией при х → а, то – бесконечно большая функция при х → а; если b(x) – бесконечно большая функцией при х → а, то – бесконечно малая функция при х → а.

Основные теоремы о действиях над функциями,
имеющими конечный предел

5. Пусть , , где l₁, l₂ – конечные, тогда:

1) ;

2) ;

3) при ;

4) ;

5) Если n – натуральное число, то ;

6) Если n – натуральное число, то ;

7) Правило замены переменной. Пусть требуется найти предел сложной функции y = f(j(x)) при x → a. Тогда если существует и существует , то справедлива формула .

Важные исключения из теоремы

7) Если и , то разность f(x) – g(x) при x → a называется неопределенностью вида (¥ – ¥), а частное при x → a называется… 8) Если и , то произведение f(x)×g(x) при x → a называется… Существуют и другие виды неопределенностей.

Замечательные пределы

10) Основные следствия из первого замечательного предела: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1. Производной функции в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в точке x₀ к приращению аргумента Dx, когда , т. е. .

Таблица производных

2. . 3. .

4. . 5. .

6. . 7. .

8. . 9. .

10. . 11. .

12. . 13. .

14. . 15. .

16. .

Основные правила дифференцирования

17. . 18. .

19. . 20. .

21. .

Геометрический смысл производной

22. Производная от функции в точке равна угловому коэффициенту (т. е. тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к графику функции в точке (рис. 7). Уравнение касательной: . Уравнение нормали:

 

Рис. 7

Механический смысл производной

24. Если функция задана параметрически уравнениями то производная вычисляется по формуле: . Вторая производная находится по формуле: . 25. Если функция задана неявно уравнением , то для нахождения ее производной…

Применение производной

27. Если функция непрерывна в точке и в левой ее окрестности , а в правой , то в точке функция имеет максимум; если в левой окрестности , а в правой… 28. Если на некотором промежутке , то на этом промежутке функция вогнута; если… 29. Если функция непрерывна в точке и при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точка – точка…

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Явное задание функции

1. Если , а и , то . В частности, если , а совпадает с одним из аргументов, например, , то .

2. Если , а и , то и . Структура этих формул сохраняется и при большем числе переменных.

Неявное задание функции

3. Если уравнение задает неявно функцию , то и , где . В частности, если уравнение неявно определяет функцию , то .

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

5. Если поверхность задана явно функцией , то уравнение касательной плоскости в точке : ; уравнение нормали в точке : . 6. Если поверхность задана неявно уравнением , то уравнение касательной… 7. Полный дифференциал функции находится по формуле: . Дифференциал второго порядка равен: .

Экстремум функции двух переменных

12. Достаточные условия экстремума функции : а) если и , то – точка максимума; б) если и , то – точка минимума;

Образец решения контрольной работы № 2.

1) 2) ; 3) . Решение. 1) Данный предел в зависимости от значений вычисляется разными способами.

Основные теоретические сведения.

Неопределенный интеграл

1. Неопределенным интегралом функции f(x) называется множество всех ее первообразных F(x) + C и обозначается символом , где функция F(x) называется первообразной функции f(x): .

Основные свойства неопределенного интеграла

2. . 3. .

4. . 5. .

6. Если , то .

Таблица интегралов

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. Теорема о замене переменной в неопределенном интеграле: пусть требуется найти интеграл от сложной функции вида , тогда если заменой , интеграл сводится к табличному , то справедлива формула .

26. Формула интегрирования по частям: .

27. Некоторые интегралы, вычисляемые по частям:

1-я группа	2-я группа
	u = Pn(x)				dv = Pn(x)

3-я группа: , , , , , , , и др.

Определенный интеграл

2. – формула Ньютона-Лейбница. 3. – формула интегрирования по частям. 4. Геометрический смысл определенного интеграла: интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной…

Приложения определенного интеграла в геометрии

5. Площадь криволинейной трапеции в декартовой прямоугольной системе координат (рис. 8) вычисляется по формуле: . Если на (график функции лежит ниже оси ), то .

6. Если криволинейная трапеция ограничена сверху кривой, заданной параметрически то площадь фигуры равна: , где и соответствуют значениям и .

7. Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой и двумя лучами и в полярных координатах (рис. 9) вычисляется по формуле: .

8. Если кривая задана уравнением в декартовой прямоугольной системе координат, то длина этой кривой от точки до точки вычисляется по формуле: . Если кривая определяется уравнением , то .

9. Если кривая задана параметрически , то длина кривой вычисляется по формуле: , где и соответствуют значениям и .

10. Если кривая задана уравнением в полярных координатах, то ее длина между лучами и равна: .

11. Объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции (рис. 8), вычисляется по формуле: . Если эту криволинейную трапецию вращать вокруг оси , то объем тела вращения равен , причем .

12. Если криволинейная трапеция ограничена кривой (), осью и прямыми и (рис. 10), то объем полученного тела вращения вокруг оси равен: .

 

 

Рис. 10

13. Если дуга кривой, заданная в декартовых прямоугольных координатах , где , вращается вокруг оси , то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле: .

14. Если дуга кривой , где вращается вокруг оси , то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле: .

15. Если дуга кривой задана параметрически где , то площадь поверхности вращения вокруг оси равна: .

16. Если дуга задана в полярных координатах , где , то .

Образец решения контрольной работы № 3.

1) ; 2) ; 3) ; 4) . Решение. 1) Интеграл преобразуем к табличному методом замены переменной. Так как , то, вводя новую переменную находим…

Основные теоретические сведения.

Дифференциальные уравнения

2. Натуральное число n, являющееся порядком старшей производной, называется порядком дифференциального уравнения. 3. Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида или в… 4. Решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется функция y = j(x), имеющая непрерывную производную на…

Ряды

Числовые ряды

Основные понятия

1. Пусть дана бесконечная последовательность чисел а₁, а₂, …, а_n. Числовым рядом называется сумма вида .

2. Если существует конечный предел частичной суммы , то соответствующий числовой ряд называется сходящимся и его сумма равна S. В противном случае числовой ряд называется расходящимся.

3. Основные свойства сходящихся числовых рядов:

а) Необходимый признак сходимости: если числовой ряд сходится, то .

б) Достаточное условие расходимости: если , то числовой ряд расходится.

в) Если все члены сходящегося числового ряда умножить или разделить на число , то получится сходящийся ряд .

г) Если два сходящихся числовых ряда и почленно сложить (или вычесть), то получатся сходящиеся ряды (или ).

Положительные числовые ряды

1) из сходимости ряда следует сходимость ряда ; 2) из расходимости ряда следует расходимость ряда . 5. Второй признак сравнения рядов. Пусть даны два положительных ряда и . Если существует , то оба ряда ведут себя…

Знакопеременные и знакочередующиеся ряды

11. Пусть дан знакопеременный ряд . Если соответствующий ряд сходится, то данный ряд сходится абсолютно. 12. Если знакопеременный ряд сходится по признаку Лейбница, а соответствующий…

Функциональные ряды

Основные понятия

13. Ряд , членами которого являются функции, называется функциональным.

14. Областью абсолютной сходимости данного функционального ряда называется множество значений х, при которых данный ряд сходиться как числовой ряд.

15. Область абсолютной сходимости функционального ряда находится из неравенства .

16. Степенным рядом называется ряд вида .

17. Радиус абсолютной сходимости степенного ряда: или .

18. Интервалом абсолютной сходимости степенного ряда называется интервал вида (a – R; a + R).

19. Интервал абсолютной сходимости с исследованными границами называется областью абсолютной сходимости степенного ряда.

20. Теорема Абеля: 1) если степенной ряд сходится при значении , то он сходится и притом абсолютно при всех значениях х таких, что |x| < |x₀|; 2) если степенной ряд расходится при х₁, то он расходится при всех значениях х таких, что |x| > |x₁|.

21. Основные свойства степенных рядов в интервале (a – R; a + R) абсолютной сходимости:

1) В интервале (a – R; a + R) сумма ряда есть непрерывная функция.

2) Степенной ряд в каждой точке интервала (a – R; a + R) можно почленно дифференцировать бесконечное число раз.

3) Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому интервалу .

22. Ряд Тейлора для функции

23. Частный случай ряда Тейлора для функции при а = 0 – ряд Маклорена:

24. Разложение основных функций в ряд Маклорена:

Разложение	Область абс. сход.

25. Тригонометрическим называется функциональный ряд вида .

26. Ряд Фурье для функции периода 2p: , где , и .

27. Если – четная функция периода 2p, то ряд Фурье имеет вид , где , и .

28. Если – нечетная функция периода 2p, то ряд Фурье имеет вид , где , и .

29. Условия Дирихле. Функция на ограничена и можно разбить на некоторое число отрезков, на каждом из которых была бы непрерывна и изменялась монотонно.

30. Ряд Фурье для функции , заданной на промежутке : , где , и .

31. Если – четная функция, заданная на промежутке , то ряд Фурье имеет вид , где , и .

32. Если – нечетная функция, заданная на промежутке , то ряд Фурье имеет вид , где , и .

Образец решения контрольной работы № 4.

Решение. Общее решение будем искать методом Бернулли: , где , – две новые неизвестные функции, тогда . Подставляя в исходное уравнение, получаем или… Для нахождения частного решения исходного уравнения, удовлетворяющего… Ответ: – общее решение; – частное решение.

Основные теоретические сведения.

Случайные события

1. Событие есть результат любого опыта или испытания. Случайным называется событие, которое может произойти, а может и не произойти при осуществлении данного комплекса условий. Событие называется достоверным, если оно появится всякий раз при осуществлении данного комплекса условий. Событие, которое заведомо не может произойти при осуществлении данного комплекса условий, называется невозможным.

Операции над событиями

2. Событие A влечет событие B (A подмножество B), если из того, что происходит событие A, следует, что происходит событие B; записывают AB.

3. Если одновременно AB и BA, то события A и B называются равными (эквивалентными); записывают A=B.

4. Противоположным (или дополнением) событию A называется событие (UA), которое заключается в непоявлении события A.

5. Суммой (или объединением) событий A и B называется событие A+B (или A∪B), состоящее в наступлении хотя бы одного из них.

6. Разностью событий A и B называется событие A–B (или AB), происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие A, но не происходит событие B.

7. Произведением (или пересечением) событий A и B называется событие AB (или A∩B), состоящее в совместном появлении этих событий.

8. Свойства операций над событиями:

A+B=B+A (переместительное), AB=BA (переместительное),

(A+B)C=AC+BC (распределительное),

AB+C=(A+C)(B+C) (распределительное),

(A+B)+C=A+(B+C) (сочетательное), (AB)C=A(BC) (сочетательное),

A+A=A, AA=A, A+U=U,

A+V=A, AU=A, AV=V,

A+=U, A=V, =V,

=U, =A, A–B=A,

A–A=V, , (законы де Моргана).

Элементы комбинаторики

10. Правило умножения. Если из некоторого конечного множества первый объект x можно выбрать n способами и после каждого такого выбора другой объект… 11. Размещениями из n элементов по k элементов (0<k<n) называются… 12. Перестановками из n элементов называются размещения из n элементов по n элементов, т. е. перестановки отличаются…

Аксиомы теории вероятностей

15. Аксиома нормированности: вероятность достоверного события равна единицы, т. е. P(U)=1. 16. Аксиома сложения: если событие A подразделяется на конечное число попарно… 17. Обобщенная аксиома сложения: если событие A подразделяется на бесконечную сумму попарно несовместимых событий…

Свойства вероятности

21. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т. е. P(A)+=1. 22. Если события A1, A2, …, An образуют полную группу несовместимых событий… 23. Теорема сложения вероятностей совместимых событий. Пусть A и B – совместимые события, тогда…

Случайные величины

Дискретные случайные величины

1. Случайной называется переменная величина , которая принимает какое-либо свое значение в зависимости от случая.

2. Случайная величина называется дискретной, если ее численные значения можно пересчитать (перенумеровать).

3. Законом распределения случайной величины называется любое правило, заданное таблицей, графиком или формулой, позволяющая для каждого события указать вероятность .

Законы распределения дискретной случайной величины

5. Биномиальный закон: , где – вероятность появления события в одном испытании, . , . 6. Закон Пуассона: , где , мало по сравнению с . .

Числовые характеристики дискретной случайной величины

8. Основные свойства математического ожидания: 1) ; 2) , где ;

Непрерывные случайные величины

13. Интегральной функцией распределения вероятностей называется функция , равная вероятности события, что непрерывная случайная величина примет… 14. Свойства интегральной функции: 1) ;

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

17. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется число .

18. Дисперсией называется число или .

19. Средним квадратическим отклонением называется число .

Законы распределения непрерывной случайной величины

21. Показательное распределение: , . 22. Нормальное распределение: , , где – функция Лапласа, , , .

Образец решения контрольной работы № 5.

Решение. Вероятность выбрать студента, работающего по специальности, равна p = 0,8, а вероятность выбрать неработающего студента равна q = 1 – p =… а) Пусть событие А – «среди 3-х отобранных студентов только один работает по… б) По формуле Бернулли вероятность события В – «среди 3-х отобранных студентов два студента работают по специальности»…

Решение.

2) Найдем числовые характеристики случайной величины Х. Математическое ожидание равно: . Дисперсия равна . Среднее квадратическое отклонение равно .

Список литературы

1. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. I, II: Учеб. пособие для студентов вузов. – М.: Высшая школа, 1982.

2. Лунгу К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 2 курс / Под ред. С.Н. Федина. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 592 с.

3. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс – М.: Рольф, 2001. – 576 с.

4. Математика: Программа, методические указания по самостоятельной работе и контрольные задания / Сост. В.А. Меркулов, А.Е. Меркулова. – Волжский: ВолжскИСИ, 1996. – 29 с.

5. Меркулов В.А. Курс высшей математики. Избранные разделы. Учеб. пособие / ВолгГАСУ. – Волгоград, 2004.