Моделирование систем массового обслуживания

Рассмотрим пример, связанный с моделированием методом Монте-Карло системы массового обслуживания. Имеется одноканальная СМО с очередью, число мест в очереди . Поток заявок - пальмовский, т. е. соседние интервалы времени между заявками представляют собой независимые случайные величины с одинаковой плотностью вероятности . Время обслуживания одной заявки - случайная величина
с плотностью вероятности .

Требуется, моделируя работу СМО методом Монте Карло
и располагая одной длинной реализацией событий входного потока продолжительностью найти оценки:

– и – вероятностей того, что канал не будет занят и канал будет занят;

– величины среднего времени ожидания в очереди
и дисперсии времени ожидания ;

– вероятности отказа в обслуживании .

Решение. Граф состояний системы показан на рис. 10.

Рис. 10

Будем считать, что в начальный момент времени система находится в состоянии . Разыграем моменты времени прихода заявок. Для этого определим функцию распределения вероятностей интервалов времени между заявками

и, используя метод обратной функции, последовательно разыг-раем интервалы времени , пример реализации которых показан на рис. 11.

Рис. 11

 

На второй оси (рис. 11) будем изображать состояние канала (жирная черта - «занято», тонкая - «свободно»). На третьей оси будем изображать состояние места в очереди. Заявка, пришедшая в момент времени , занимает канал. Время ее обслуживания разыгрывается с помощью метода обратных функций. Вторая заявка, пришедшая в момент , также занимает канал после его освобождения первой заявкой. Третья заявка занимает место в очереди, а четвертая покидает СМО. Обозначим через - время, в течение которого канал свободен, - суммарное время обслуживания (для четвертой заявки время обслуживания ). При достаточно большом значении оценки вероятностей равны соответственно

и .

Оценка среднего времени ожидания в очереди

,

где - время ожидания в очереди -й заявки (первая и вторая заявки сразу приняты к обслуживанию, а четвертая получила отказ, поэтому для этих заявок ), − общее число заявок. Дисперсия времени ожидания в очереди

.

Оценка вероятности отказа , где - число заявок, получивших отказ.