Критерием согласия называют статистический критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения, полученного на основе выборочных данных. Для этого вводится количественная мера соответствия гипотетической и эмпирической функций распределения, полученная на основе выборочных данных . Рассматривается гипотеза о том, что можно аппроксимировать функцией распределения . Гипотеза принимается, если выполняется условие , в противном случае гипотезу следует отвергнуть. Величина порога зависит от выбранного критерия. Существуют различные критерии согласия: Пирсона, Колмогорова, Фишера, Смирнова и др. Рассмотрим наиболее часто употребляемый критерий Пирсона для проверки гипотезы о законе распределения выборочных данных.
Разобьем всю область значений случайной величины на конечное число неперекрывающихся интервалов . Обозначим . Пусть в выборке число выборочных данных, попадающих в интервал , равно . Примем в качестве критерия согласия величину
,
которая является случайной. Ее конкретное значение будем обозначать . Пирсон показал, что распределение случайной величины при асимптотически приближается к -распределению с степенями свободы и плотностью вероятности
,
где - число параметров гипотетического распределения, - гамма-функция. Например, если в качестве гипотетического распределения выбрано экспоненциальное, то , для гауссовского . По имеющимся таблицам находим величину , определяемую уравнением
.
Вероятность называют уровнем значимости критерия или доверительной вероятностью. Ее величина характеризует частоту отклонения истинной гипотезы в длинной последовательности принятия решений. Найденная величина называется доверительной границей.
При достаточно малой величине вероятности получаем хорошее правило проверки гипотезы об истинности гипотетического распределения : если полученное значение , то гипотетическое распределение считают несогласующимся
с экспериментальными данными, в противном случае, при , гипотетическое распределение не противоречит экспериментальным данным и гипотеза принимается. В таблице приведены значения для различных значений числа степеней свободы и вероятностей . Следует отметить, что, получив для данной выборки , мы не делаем определенного вывода о том, что выбранная гипотеза о распределении справедлива, а говорим лишь о том, что гипотеза не противоречит полученным результатам опытов, что она согласуется с ними и ее можно принять.
Таблица значений процентных точек
хи-квадрат распределения
Уровень значимости | ||||||
0,2 | 0,1 | 0,05 | 0,01 | 0,005 | 0,001 | |
1,642 | 2,706 | 3,841 | 6,635 | 7,879 | 10,827 | |
3,219 | 4,605 | 5,991 | 9,210 | 10,597 | 13,815 | |
4,642 | 6,251 | 7,815 | 11,345 | 12,838 | 16,268 | |
5,989 | 7,779 | 9,488 | 13,277 | 14,860 | 18,465 | |
7,289 | 9,236 | 11,070 | 15,086 | 16,750 | 20,517 | |
8,558 | 10,645 | 12,592 | 16,812 | 18,548 | 22,457 | |
9,803 | 12,017 | 14,067 | 18,475 | 20,278 | 24,322 | |
11,030 | 13,362 | 15,507 | 20,090 | 21,955 | 26,125 | |
12,242 | 14,684 | 16,919 | 21,666 | 23,589 | 27,877 | |
13,442 | 15,987 | 18,307 | 23,209 | 25,188 | 29,588 | |
14,631 | 17,275 | 19,675 | 24,725 | 26,757 | 31,264 | |
15,812 | 18,549 | 21,026 | 26,217 | 28,300 | 32,909 | |
16,985 | 19,812 | 22,362 | 27,688 | 29,819 | 34,528 | |
18,151 | 21,064 | 23,685 | 29,141 | 31,319 | 36,123 | |
19,311 | 22,307 | 24,996 | 30,578 | 32,801 | 37,697 | |
20,465 | 23,542 | 26,296 | 32,000 | 34,267 | 39,252 | |
21,615 | 24,769 | 27,587 | 33,409 | 35,718 | 40,790 | |
22,760 | 25,989 | 28,869 | 34,805 | 37,156 | 42,312 | |
23,900 | 27,204 | 30,144 | 36,191 | 38,582 | 43,820 | |
25,038 | 28,412 | 31,410 | 37,566 | 39,997 | 45,315 | |
26,171 | 29,615 | 32,671 | 38,932 | 41,401 | 46,797 | |
27,301 | 30,813 | 33,924 | 40,289 | 42,796 | 48,268 | |
28,429 | 32,007 | 35,172 | 41,638 | 44,181 | 49,728 | |
29,553 | 33,196 | 36,415 | 42,980 | 45,558 | 51,179 | |
30,675 | 34,382 | 37,652 | 44,314 | 46,928 | 52,620 | |
31,795 | 35,563 | 38,885 | 45,642 | 48,290 | 54,052 | |
32,912 | 36,741 | 40,113 | 46,963 | 49,645 | 55,476 | |
34,027 | 37,916 | 41,337 | 48,278 | 50,993 | 56,893 | |
35,139 | 39,087 | 42,557 | 49,588 | 52,336 | 58,302 | |
36,250 | 40,256 | 43,773 | 50,892 | 53,672 | 59,703 |