Алгоритмы генераторов псевдослучайных чисел

Во всех языках программирования (Pascal, C/C++, Java
и т. д.) и в приложениях Excel, MathCad, MathLab и др. есть стандартная функция, возвращающая случайное число. При этом существует возможность повторения одной и той же последовательности случайных чисел, например, в C++, Java. Наиболее распространенные алгоритмы, используемые в генераторах псевдослучайных чисел:

1. Линейный конгруэнтный метод (ЛКМ) − языки Borland С, Visual C++, Java, C++Builder;

2. Алгоритм Вичманна–Хилла (Wichmann–Hill) или AS 183 − языки Prolog, Python (версии 2.2 и предыдущие), Excel;

3. Алгоритм «Виток Мерсенна» (Mersenne Twister) или MT19937−Python (версии 2.3 и последующие);

4. Алгоритм Парка–Миллера;

5. Метод Фибоначчи с запаздыванием (Subtract-with-borrow Generators SWBG) −Mathematica, MatLab.

Рассмотрим эти алгоритмы.

Линейный конгруэнтный метод (ЛКМ)

В стандарте ANSI-C имеется функция , выдающая равномерно распределенные числа в интервале от 0 до , и связанная с ней функция , выполняющая начальную установку счетчика. Почти все подобные генераторы используют рекуррентную последовательность

.

Здесь равно остатку от деления на (или другими словами − это наименьший положительный вычет по модулю ). Число называется мультипликатором, число – инкрементом, а число – модулем. Ниже приведена реализация генератора ANSI-C, опубликованного в качестве «примера».

/* (в модуле stdlib.h) */

#define RAND_MAX 32767

/* "пример" от комитета ANSI-C */

unsigned long next=1; int rand(void) { next=next*1103515245+12345; return((unsigned int)(next/65536)%32768);} void srand(unsigned int seed) { next=seed;}

Значение мультипликатора и инкремента в этом примере не являются оптимальными.

Алгоритм Вичманна–Хилла (Wichmann–Hill или AS183)

Псевдослучайные числа вычисляются по формуле

,

где функция возвращает десятичную часть получившейся суммы. Рекуррентные формулы для вычисления ,
и имеют вид:

где функция возвращает целое число, равное остатку от деления. По сути, этот алгоритм есть линейная комбинация трех конгруэнтных генераторов. При этом требуется задание трёх начальных значений. Алгоритм обладает периодом (), что недостаточно для современных нужд.

 

Алгоритм «Виток Мерсенна»
(Mersenne Twister или MT19937)

Алгоритм разработан в 1997 году японскими учеными Макото Мацумото и Такуджи Нишимура. Обладает огромным периодом 2¹⁹⁹³⁷−1 (создатели алгоритма доказали это свойство), имеет хорошее быстродействие и проходит все статистические тесты. В приложении 1 приведена реализация алгоритма на
языке С.

Алгоритм Парка−Миллера (Park, Miller)

Самая простая рекуррентная последовательность, которую можно предложить для реализации генератора равномерного распределения, имеет вид:

.

Значения констант

были предложены Park, Miller и протестированы в исследованиях Lewis, Goodman, Miller. Прямое использование этого метода возможно на языке ассемблер, но языки высокого уровня могут при этом зафиксировать переполнение. Для обхода этого Scharge предложил метод частичной факторизации модуля. Для этого модуль записывается в виде:

.

Если и , то при этом величины и всегда лежат в интервале 0,..., m-1. Для вычисления используется алгоритм:

 

t = a(z mod q)-r[z/q]

если t<0, то t += m.

(a*z)(mod m)=t.

В случае констант Парка−Миллера можно использовать значенияи .

Если требуется число вызовов, превышающее по порядку 10⁸, то для этого случая L'Ecuyer рекомендует комбинировать две последовательностей с близкими, но отличающимися константами. В его исследованиях хороший результат был получен для значений:

m1 = 2147483563, a1 = 40014, q1 = 53668, r1 = 12211;

m2 = 2147483399, a2 = 40692, q2 = 52774, r2 = 3791.

При этом для современных компьютеров период повторения генерируемой последовательности оценивается по порядку примерно как 10¹⁸.