Законы Кирхгофа

[1, c.35–40; 2, c.28–29]

В основе методов анализа электрических цепей лежат законы Кирхгофа. Они верны для любых электрических цепей: как линейных, так и нелинейных.

Первый закон Кирхгофа гласит: алгебраическая сумма токов в ветвях, сходящихся к любому узлу электрической цепи, тождественно равна нулю.

Узел (сложный) – место соединения трех и более ветвей. Ветвь – участок цепи с одинаковым током между двумя узлами.

Согласно этому закону, если к некоторому узлу цепи подсоединено n ветвей с токами i₁, i₂, … , i_n, то в любой момент

где _к = 1, если выбранное или заданное положительное направления тока i_к ориентировано от узла, и _к = –1 в противном случае.

Если цепь содержит N_у узлов, то для токов в её ветвях, пользуясь первым законом Кирхгофа, можно составить N_у – 1 линейно-независимых уравнений.

Первый закон Кирхгофа часто называют законом токов Кирхгофа и сокращённо обозначают ЗТК.

Второй закон Кирхгофа формулируется следующим образом: алгебраическая сумма напряжений на зажимах ветвей в любом контуре цепи тождественно равна нулю. Контуром называется замкнутый путь из последовательности ветвей и узлов.

В соответствии с этим законом, если в контур входят m ветвей с напряжениями u₁, u₂, … , u_m, то в любой момент

где _к = 1 или _к = –1 в зависимости от соотношения между направлением обхода контура и выбранным или заданным положительным направлением напряжения ветви u_к. Условимся считать _к = +1, если при обходе контура первым встречается зажим u_к, помеченный знаком «+», и _к = –1 в противном случае.

Используя второй закон Кирхгофа, можно составить N_в–N_у+1 линейно-независимых уравнений.

Второй закон Кирхгофа часто называют законом напряжений Кирхгофа и сокращённо обозначают ЗНК.

Непосредственное применение законов Кирхгофа для определения неизвестных токов в ветвях цепи называют методом токов ветвей. Покажем это на примере.

Пусть требуется составить систему уравнений для определения токов в цепи, схема которой приведена на рис.2.6.

Рис. 2.6

Задаемся положительными направлениями восьми неизвестных токов (см. рис.2.6). Для решения задачи необходимо составить восемь уравнений. В схеме четыре узла 0, 1, 2, 3, потому составляем три возможных уравнения по ЗТК:

– i₁ + i₂ + i₃ = 0 (для узла 1);

– i₃ – i₄ + i₅ + i₇ +i₈ = 0 (для узла 2);

– i₀₉ – i₂ + i₄ + i₆ = 0 (для узла 3).

Далее систему дополняем пятью уравнениями, составляемыми по ЗНК для независимых контуров, в которые не должен входить источник тока.

Для контура при согласном отсчете направлений токов и напряжений уравнение принимает вид:

Для контура

Итак, получена совместная система из восьми уравнений для нахождения токов в схеме, приведенной на рис.2.6.