[1, c. 115–120; 2, c. 75–78]
Каждой косинусоидальной функции заданной частоты ω можно сопоставить вектор на комплексной плоскости. С другой стороны, каждый вектор можно записать в виде комплексного числа. Так, гармоническому колебанию, описываемому функцией u(t)=Um∙cos(ωt+), можно сопоставить радиус-вектор m на комплексной плоскости (рис. 3.5). Длина вектора в выбранном масштабе, равна амплитуде колебания Um, а угол, образованный этим вектором с положительным направлением вещественной оси, – начальной фазе колебания ψ. Этому вектору соответствует комплексное число
m=Um∙ejψ = Um ∙ (cos + j sin ψ) = Um cos ψ + j Um sin ψ = a + j b,
где j = – мнимая единица; a – вещественная часть; jb – мнимая часть; b – коэффициент при мнимой части комплексного числа.
Модуль комплексного числа равен длине вектора
| m| = Um =
Аргумент комплексного числа равен углу между вектором и осью абсцисс
= arg [ m] = arg (a + jb) = arctg + k∙π,
где arctg соответствует главному значению функции, ограниченной интервалом – < arctg < , а значение целого числа k находится с учётом знаков составляющих a и b комплексного числа (k=).
Для перехода от показательной формы записи комплексного числа c=|c|∙ ∙ejψ к алгебраической c=a+jb используется формула Эйлера
ejψ = cos ψ + j sin ψ .
Тогда c=|c|∙cosψ + j|c|∙sinψ , и поэтому вещественная часть комплексного числа a= Re (a + jb)= |c|∙cosψ и коэффициент при мнимой части b= Im (a + jb)= |c|∙sinψ.
Имеют место соотношения: j=ej90°; j2= –1 = ej180°, j3= –j = e–j90°, j4=1.
Два комплексных числа с и с* считаются сопряжёнными, если они отличаются лишь знаками их мнимых частей, т.е. если с=a + jb, то с*=a – jb.
Вычисления с комплексными числами сводятся к действиям с вещественными числами. В частности:
c1∙c2=(a1+jb1)∙(a2+jb2)=a1∙a2–b1∙b2+j(a1∙b2+a2∙b2);
c∙c*=(a+jb)∙(a–jb)=a2+b2;
= = = +j;
c1c2 = a1 a2 +j(b1 b2).
Расположение на комплексной плоскости числа с=a + jb для частного случая, когда a>0 и b>0, показана на рис. 3.5. В зависимости от знаков чисел a и b комплексное число с=a + jb может изображаться точкой в любом из квадрантов комплексной плоскости.
Рис. 3.5
Комплексное число m принято называть комплексной амплитудой гармонического колебания u(t). Таким образом, комплексная амплитуда гармонического колебания – это комплексное число, модуль которого равен амплитуде колебания, а аргумент – его начальной фазе. Между комплексной амплитудой и гармоническим колебанием существует взаимно однозначное соответствие, которое математически выражается следующими зависимостями:
m = dt, u(t) = Re ( m∙ejωt).
Комплексные действующие значения отличаются от комплексных амплитуд в раза: = m/, m=∙.
Для комплексных амплитуд напряжений и токов сохраняется та же система положительных направлений, которая была принята для мгновенных значений колебаний.
Комплексные значения токов и напряжений в электрической цепи удовлетворяют законам Кирхгофа.
Для ЗТК заменив мгновенные значения токов их комплексными значениями, получим
где n – число ветвей, сходящихся в узле; к =
Для ЗНК заменив мгновенные значения напряжений их комплексными значениями, получим
где m – число ветвей, входящих в контур; к =