Распределение Пуассона

Рассмотрим следующую задачу. На оси времени на интервале[0,t) случайным образом распределяются точки – моменты поступления вызовов, в каждый из которых занимается одна из свободных линий из общего пучка линий V.

Требуется найти вероятность P_i того, что на интервал[0,t) попадет точно i точек, т.е. будет занято i любых линий из V.

Обозначим λ -математическое ожидание числа вызовов, приходящихся на единицу длины интервала. Обычно за единицу длины интервала времени принимается 1 час. Вероятность P_i выражается формулой

 

(1.2)

 

Это выражение носит название распределения Пуассона. Распределение Пуассона справедливо при выполнении следующих условий:

· вероятность попадания того или иного числа точек на интервал[0,t)зависит только от длины этого интервала и не зависит от его положения на оси времени;

· события, состоящие в попадании того или иного числа точек в неперекрывающиеся интервалы времени, независимы;

· вероятность попадания на малый участок Δt двух и более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки.

Входящая в формулу (1.2) величина есть не что иное, как среднее число точек, приходящихся на интервал[0,t) (математическое ожидание числа точек, попадающих на этот участок). Пусть длина интервала [0,t) равна средней длительности обслуживания одного вызова - . Величину в теории телетрафика называют интенсивностью поступающей нагрузки и обозначают A.

Тогда формула (1.2) может быть записана

, . (1.3)

Для расчетов вероятности P_i можно использовать рекуррентную формулу

(1.4)

Математическое ожидание и дисперсия СВ, распределенной по закону Пуассона

M(i)=D(i)=A.

Распределение Пуассона можно применять для определения вероятностей P_i при условии, что N и V → ∞.

Распределение Пуассона можно получить из распределения Бернулли, если в последнем положить V→ ∞.