Свойства определителей.

1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером.

2. Перестановка двух столбцов или двух строк меняет знак определителя на противоположный.

3. Если в определителе есть две одинаковые строки или два одинаковых столбца, то он равен нулю.

4. Если все элементы некоторой строки или некоторого столбца определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю.

5. Умножение всех элементов некоторого столбца или строки определителя на любое число равносильно умножению определителя на это число.

6. Если соответствующие элементы двух строк или двух столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7. Если каждый элемент i − ого столбца или j − ой строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в i −ом столбце или j − ой строке имеет первые слагаемые, а другой вторые слагаемые; элементы, стоящие на остальных местах у всех определителей одни и те же.

8. Значение определителя не изменится, если к элементам некоторой строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на любой общий множитель.

Определение. Матрица называется обратной к матрице если AB =BA = I; при этом пишут Матрица А имеет обратную только в том случае, если она невырожденная, то есть ее определеитель отличен от нуля.

Если – невырожденная матрица, то

где алгебраические дополнения элементов , и равно , умноженный на определитель матрицы, полученной путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.

Определение. Миноромнекоторого элемента определителя п-го порядка называется определитель п-1 - го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается .

Так, если , то .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если сумма четное число, и со знаком «минус», если эта сумма нечетная. Обозначается : .