МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО КУРСУ ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ДЕЛАМ ГРАЖДАНСКОЙ ОБОРОНЫ, ЧРЕЗВЫЧАЙНЫМ СИТУАЦИЯМ И ЛИКВИДАЦИИ ПОСЛЕДСТВИЙ СТИХИЙНЫХ БЕДСТВИЙ

Федеральное государственное Бюджетное Образовательное Учреждение Высшего Профессионального Образования

Воронежский институт Государственной противопожарной службы

 

Кафедра прикладной математики и инженерной графики

 

 

С.В. Беседина, Н.Н. Кузнецова

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПО КУРСУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

Учебное пособие для слушателей факультета

заочного обучения,

специальность 280705.65– пожарная безопасность

 

ЧАСТЬ 1

 

 

 

ВОРОНЕЖ 2013

Издано по решению методического совета Воронежского института ГПС МЧС России Протокол № от

 

 

Рецензенты:

доцент кафедры математического анализа, кандидат физико-математических наук Бурлуцкая М.Ш. (ВГУ),

начальник кафедры организации деятельности пожарной охраны, кандидат технических наук, подполковник внутренней службы Сметанкина Г.И. (ВИ ГПС МЧС).

 

Беседина С.В., Кузнецова Н.Н.

Высшая математика: Учебное «Методические указания по выполнению контрольной работы по курсу «Высшая математика»» для слушателей факультета заочного обучения (6 лет обучения), специальность 280705.65 – пожарная безопасность. Часть 1. С.В. Беседина, Н.Н. Кузнецова [Воронежский институт ГПС МЧС России]. – Воронеж, 2013. – 53с.

Издание содержит основной теоретический материал, решение типовых примеров, варианты контрольных заданий и методические указания по их выполнению.

 

©Беседина С.В., Кузнецова Н.Н. 2013

©Воронежский Институт ГПС МЧС России, 2013

 

Предисловие

Учебное пособие предназначено для оказания помощи слушателям ВИ ГПС МЧС РФ заочной формы обучения при изучении курса высшей математики и решении контрольной работы. Оно составлено в соответствии с Государственным образовательным стандартом.

Основной составляющей при изучении курса является самостоятельная работа слушателей. В данных указаниях изложен материал, который позволит освоить разделы высшей математики, необходимые для успешного выполнения контрольной работы.

Структура учебного пособия следующая: сначала сформулированы основные понятия и теоремы, которые необходимо изучить прежде чем приступать к выполнению практических заданий, затем рассмотрен ход решения типовых задач. В заключении приведены ссылки на литературу, содержащую теоретический и практический материал.

В приложении к методическим указаниям даны таблицы, содержащие основные формулы, которые могут быть полезны при решении задач.

Изучение дисциплины ставит целью формирование у обучаемых системы знаний, умений и навыков, необходимых инженеру пожарной безопасности для квалифицированного проведения всех необходимых расчетов в работе. Полученные знания в дальнейшем могут применяться при изучении целого ряда дисциплин, предусмотренных государственным образовательным стандартом.

Математическая подготовка нацелена на развитие и формирование логического мышления, умения точно формулировать задачу и использовать полученные знания при изучении других дисциплин.

Указания по выполнению и оформлению контрольной работы.

  - Слушатели выполняют контрольную работу в соответствии с учебным планом в… - Контрольная работа выполняется в отдельной тетради, чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо оставлять…

Основные понятия.

Определение. Матрицей порядка называется прямоугольная таблица чисел

состоящая из m строк и n столбцов, рассматриваемая как единый объект, над которым могут производиться определенные алгебраические действия (например, сложение, умножение). Элементы матрицы обозначают через , где, , 1.

Здесь a_ij - элементы матрицы. Каждый элемент имеет два индекса, первый обозначает номер строки, а второй номер столбца.

Определение. Матрица называется квадратной, если у нее количество строк и столбцов одинаковое.

Элементы образуют главную диагональ, - побочную.

Определение. Определителем квадратной матрицы называется число, равное сумме произведений этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.

Определитель второго порядка вычисляется по формуле

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

Для вычисления определителя третьего порядка лучше пользоваться правилом Саррюса (треугольника) или правилом «35». Схематически их можно изобразить на рисунках:

 

+ – а б Рис. 1 Элементы перемножаются и потом суммируются, причем слагаемые с рис. а берутся со знаком «+», а с рис. б – со знаком «-»

Рис. 2 Элементы перемножаются и потом суммируются, причем произведения «параллельные» главной диагонали берутся со знаком «+», а параллельные побочной – со знаком «-»

Пример. Вычислить определитель

методом «треугольника”;

Решение. По правилу Саррюса имеем

 

Свойства матриц.

Суммой двух матриц называется матрица такая, что (). Замечание: операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых… Аналогично определяется разность матриц.

Свойства определителей.

2. Перестановка двух столбцов или двух строк меняет знак определителя на противоположный. 3. Если в определителе есть две одинаковые строки или два одинаковых столбца,… 4. Если все элементы некоторой строки или некоторого столбца определителя равны нулю, то сам определитель равен…

Системы линейных алгебраических уравнений.

Определение. Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система уравнений вида Определение. Система называется однородной, если свободные члены равны нулю: Однородная система всегда является…

Тема: Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.

- Понятие вектора. - Свойства векторов, линейные операции над векторами. - Понятие скалярного, векторного и смешенного произведения их свойства и правила вычисления.

Векторы.

Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора . Длина вектора в координатах определяется как расстояние… Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной… Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны (векторы лежат в…

Решение.

; б) ; , ; .

Уравнение прямой и плоскости в пространстве.

§ Условие параллельности плоскостей . § Условие перпендикулярности плоскостей . § Неполные уравнения плоскостей:

Решение.

.   2. Угол между векторами вычислим используя формулу для скалярного произведения.

Предел функции.

Предел непрерывной функции. Предел непрерывной функции равен значению функции… Если существуют конечные пределы и , то

Специальные пределы.

2. ==е=2,71828…2-ой замечательный предел. Общий вид второго замечательного предела: ==е Следствия: , ,

Решение.

Так как функции непрерывны, то предел функции равен значению функции в этой точке.

a.

b.

Пример.

Найти предел функции:

a. ,так как , а степени многочленов в числителе и знаменателе одинаковые, следовательно предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.

b. ,так как , а степень многочлена в числителе больше, чем степень многочлена в знаменателе.

c. ,так как , а степень многочлена в знаменателе больше, чем степень многочлена в числителе.

 

Пример. Найти предел функции.

 

a.

b.

c.

d. Следующий пример дает неопределенностьпоэтому число 2 является корнем многочлена, стоящего в числителе и знаменателе. Тогда эти многочлены можно разложить на множители. По формуле разности квадратов

 

Для разложение многочлена, стоящего в числителе на множители мы можем применить метод группировки или поделить многочлен на многочлен «в столбик».

Тогда получим

Полученная дробь уже не дает неопределенности и для вычисления ее предела мы можем подставить число 2:

Пример.Вычислить пределы:

a.

b. предел непрерывной функции равен значению функции в этой точке.

c. предел непрерывной функции равен значению функции в этой точке.

d.

В случае неопределенности типа нужно перейти к неопределенности типа или , для этого домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение.

e. так как степень числителя больше степени знаменателя, то по рассмотренному ранее правилу мы получаем, что предел равен бесконечности..

Пример. Вычислить пределы:

a) При подстановке значения переменно получается неопределенность типа , поэтому непосредственной подстановкой результат вычислений быть получен не может. Поэтому для его вычисления используем первый замечательный предел и следствие из него. , где , , где .

b) . При непосредственной подстановки значения переменной получается неопределенность типа . Данный предел является непосредственным первого замечательного предела, где в качестве берется функция .

c) при подстановке значения переменной получается неопределенность типа , поэтому для вычисления предела необходимы дополнительные преобразования:

d) При непосредственном вычислении получается неопределенность типа , поэтому для его вычисления мы воспользовались вторым замечательным пределом

e)

 

Тема «Производная функции и ее приложения».

Вопросы:

- Задачи, приводящие к понятию производной.

- Понятие производной.

- Правила вычисления производной.

- Производная сложной функции.

- Промежутки монотонности. Возрастание и убывание функции.

- Экстремум функции.

- Таблица производных.

В результате изучения темы слушатели должны уметь:

- вычислять производную,

- исследовать функцию на возрастание и убывание, используя производную,

- находить экстремум функции.

Эти вопросы рассмотрены в [1],[3],[5] и в [2],[3],[5] приведены примеры решений типовых задач.

 

[1] Глава 5. Дифференцирование. Стр. 104-126.

 

[2] Глава 5. Дифференцирование. Стр. 54-81.

 

[3] Глава 5. Введение в анализ. Стр. 97-185.

 

[5] Глава 6. Введение в анализ. Стр. 172-189.

Глава 7. Дифференциальное исчисление функции одной независимой переменной. Стр. 190-235.

 

Задачи, приводящие к понятию производной.

Задача о касательной.

Задан график функции . В точке требуется написать уравнение касательной. Построим касательную: возьмем две точки на графике функции и проведем через них секущую. Устремим точку к . Тогда секущая будет приближаться к касательной. Таким образом касательная – есть предельное положение секущих. Тангенс угла наклона касательной можно вычислить по формуле . Уравнение касательной имеет вид .

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции, к вызвавшему это приращение приращению аргумента.

Основные правила нахождения производной. Таблица производных

 

Обозначения: с – постоянная, u, v – функции, дифференцируемые в .

1. (c)' = 0, где с – постоянное число,

2. ,

3.

4.

 

 

Производные основных элементарных функций.

1.

2. – (частный случай формулы 1)

3. – (частный случай формулы 1)

4. – (частный случай формулы 1)

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

 

Вычисление производной функции.

Пример. Найти производную функции .

Решение. Воспользуемся правилами: производная от суммы (разности) равна сумме (разности) производных, константу можно выносить из под знака производной:

Пример. Найти производную функции у =х⁴·е^х.

Решение. Воспользуемся правилом вычисления производной произведения: .

Пример. Найти производную функции .

Решение. Воспользуемся правилом вычисления производной частного:

.

 

Вычисление производной сложной функции.

Если у = f(u), где u = (x), т. е. если у зависит от х через посредство промежуточного аргумента u, то у называется сложной функцией от х, функцию f… Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на… у ' = f '(u)· u '(х).

Вычисление производной функции, заданной неявно.

 

Производная вычисляется по основным правила дифференцирования, считая, что функция y зависит от переменной x.

Пример.Вычислить производную функции заданной неявно

Решение.

Выражая из последнего равенства получим:

 

 

Производная степенно-показательной функции.

При дифференцировании функций, состоящих из большого количества множителей, или функций вида рекомендуется предварительное логарифмирование.

 

Пример.Найти производную функции

Решение.

 

Производная обратной функции.

Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х:

 

т.к. g¢(y) ¹ 0

 

т.е. производная обратной функции обратная по величине производной данной функции.

Исследование функции на монотонность и экстремум, наибольшее и наименьшее значение.

   

Решение.

1)Вычислить производную функции . 2) Решить уравнение

Ответ:Функция возрастает на промежутке , убывает на .– точка минимума,– минимум.

Задачи для решения

Тема: «Функция. Ее свойства и график».

- Понятие функции. - Область определения и множество значений функции. - Четность и нечетность функции.

Общая схема исследования функции. Построение графиков

1. Найти область определения функции.

2. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или периодической.

3. Найти точки пересечения с осями координат (если это не вызывает затруднений) и промежутки знакопостоянства.

4. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.

5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции.

6. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.

7. Найти асимптоты кривой.

8. Найти множество значений функции.

9. Построить график, используя полученные результаты исследования.

Пример.

Построить график функции, используя методы дифференциального исчисления .

Решение.

. Функция непрерывна на своей области определения. 2. Функция не является периодической.

Тема: «Интегрирование функции».

Вопросы: - Понятие первообразной и неопределенного интеграла. - Свойства интегралов.

Понятие и основные свойства неопределенного интеграла

Часто приходится решать задачу, обратную дифференцированию: дана функция , требуется найти функциютакую, что .

Определение. Функция , называется первообразной для функции в промежутке , если в любой точке этого промежутка ее производная равна т.е.:, .

Определение. Отыскание первообразной есть операция, обратная дифференцированию… Определение. Совокупность всех первообразных функции , определенных на некотором промежутке , называется…

Формулы интегрирования

1. 2. 3. 12..

Метод непосредственного интегрирования

 

Используются основные свойства определенного интеграла:

1. .

2. .

Пример. Вычислить интеграл: .

Решение.

.

 

Интегрирование методом замены переменной

 

Сущность метода: путем введения новой переменной интегрирования заданный интеграл сводится к новому, который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.

Пример. Вычислить интеграл: .

Решение.

.

Пример.

Решение.

Пример.

Решение.

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям основано на формуле ; Основные классы функций, для применения интегрирования по частям:

Решение.

 

Пример.

Решение.

 

 

 

Пример.

Решение.

Часто при решении помогает такая формула:

Определенный интеграл и его приложения

 

Определение. Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a;b] называется сумма вида:

Определение. Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:.

Основные свойства определённого интеграла

1. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:… 2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: . 3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:.

Физический смысл определённого интеграла

При прямолинейном движении перемещениеs численно равно определенному интегралу от функции зависимости скоростиот времени t: .

Пример.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y = 0, х = 2, х = 3.

Решение.

Построим графики функцийх = 2, х = 3.

 

.

Пример.Определить объём тела, которое получается в результате вращения вокруг оси Ох параболы y² = 4х и прямой х =3.

Решение.

Так как данная парабола (с вершиной в начале координат) вращается вокруг оси Ох и ограничена прямой х = 3, то для вычисления объёма воспользуемся следующей формулой:

V_х = . Таким образом, получим:

 

V_х =

Таблица вариантов заданий

Предпоследняя цифра зачетной книжки		Последняя цифра номера зачетной книжки
	10,18,26, 34,42, 60,68,	1,14,27, 40,43, 56,69,	10,17,24, 31,48, 55,62,	1,15,29, 33,47, 51,65,	10,16,22, 38,44, 60,66,	1,16,21, 36,41, 56,61,	1,11,21, 31,41, 51,61,	1,12,23, 34,45, 56,67,	10,19,28,37,46, 55,64,	1,13,25, 37,49, 51,63,
	2,14,26, 38,50, 52,64,	2,15,28, 31,44, 57,70,	9,16,23, 40,47, 54,61,	2,16,30, 34,48, 52,66,	9,15,21, 37,43, 59,65,	2,17,22, 37,42, 57,62,	2,12,22, 32,42, 52,62,	2,13,24, 35,46, 57,68,	9,18,27, 36,45, 54,63,	9,17,25, 33,41, 59,67,
	3,15,27, 39,41, 53,65,	8,16,24, 32,50, 58,66,	8,15,22, 39,46, 53,70,	3,17,21, 35,49, 53,67,	8,14,30, 36,42, 58,64,	3,18,23, 38,43, 58,63,	3,13,23, 33,43, 53,63,	3,14,25, 36,47, 58,69,	8,17,26, 35,44, 53,62,	3,16,29, 32,45, 58,61,
	4,16,28, 40,42, 54,66,	7,15,23, 31,49, 57,65,	4,17,30, 33,46, 59,62,	4,18,22, 36,50, 54,68,	7,13,29, 35,41, 57,63,	4,19,24, 39,44, 59,64,	4,14,24, 34,44, 54,64,	4,15,26, 37,48, 59,61,	7,16,25, 34,43, 52,61,	7,14,21, 38,45, 52,70,
	5,17,29, 31,43, 55,67,	6,14,22, 40,48, 56,64,	5,18,21, 34,47, 60,63,	6,13,30, 37,44, 51,68,	6,12,28, 34,50, 56,62,	5,20,25, 40,45, 60,65,	5,15,25, 35,45, 55,65,	5,16,27, 38,49, 51,62,	6,15,24, 33,42, 51,70, 79,	5,19,23, 37,41, 55,69,
	6,18,30, 32,44, 56,68,	5,13,21, 39,47, 55,63,	6,19,22, 35,48, 51,64,	5,12,29, 36,43, 60,67,	8,20,24, 38,42, 56,70,	6,11,26, 31,46, 51,66,	7,17,27, 37,47, 57,67,	5,14,23, 32,41, 60,69,	1,17,28, 39,41, 52,63,	5,11,27, 33,49, 55,61,
	7,19,21, 33,45, 57,69,	4,12,30, 38,46, 54,62,	7,20,23, 36,49, 52,65,	4,11,28, 35,42, 59,66,	7,11,25, 39,43, 57,61,	4,20,26, 32,48, 54,70,	7,12,27, 32,47, 52,67,	8,18,28, 38,48, 58,68,	2,19,21, 32,43, 54,65,	3,12,21, 40,49, 58,67,
	8,20,22, 34,46, 58,70,	3,11,29, 37,45, 53,61,	8,11,24, 37,50, 53,66,	3,20,27, 34,41, 58,65,	8, 12,26, 40,44, 58,62,	3,19,25, 31,47, 53,69,	8,13,28, 33,48, 53,68,	10,20, 30,40, 50,60, 70,80	9, 13,27, 31,45, 59,63,	6,16,26, 36,46, 56,66,
	9,11,23, 35,47, 59,61,	2,20,28, 36,44, 52,70,	5,12,25, 38,41, 54,67,	2,19,26, 33,50, 57,64,	10,12,23, 34,45, 56,62, 77	2,18,24, 40,46, 52,68,	9,14,29, 34,49, 54,69, 74,	6,19,29, 39,49, 59,69, 79,	1,20,29, 38,47, 56,65,	10,14,28, 32,46, 60,64,
	10,12,24, 36,48, 60,62,	1,19,27, 35,43, 51,69,	10,13,26, 39,42, 55,68,	1,18,25, 32,49, 56,63,	2,11,30, 39,48, 57,66,	1,17,23, 39,45, 51,67,	10,15,30, 35,50, 55,70,	9,11,22, 33,44, 55,66,	4,13,22, 31,50, 59,68,	7,18,29, 31,42, 53,64,

Задания для контрольной работы.

Найти определитель.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

 

Решить систему тремя способами: Крамера и методом обратной матрицы.

1. 
2. 

 

1. 

 

1. 

 

1. 

 

1. 

 

1. 

 

1. 

 

1. 

 

1. 

 

 

Даны вершины тетраэдра A, B, C, D.

Найти:

1. длину ребра AB;

2. угол между ребрами AB и AD;

3. угол между ребром AD и плоскостью ABC;

4. объем тетраэдра ABCD;

5. уравнение ребра AB;

6. уравнение плоскости ABC;

7. уравнение высоты, опущенной из D на ABC;

8. проекцию точки D на ABC;

9. длину высоты DO.

21. А(1; 2; 1), В(2; -3; 4), С(-4; 5; 1), D(-1; 2; -3).

22. А(-4; -3; -2), В(4; 5; 1), С(-2; 2; 5), D(6; -1; 2).

23. А(1; -2; 1), В(3; 1; 4), С(2; 7; 6), D(-2; 3; -5).

24. А(4; 1; 5), В(1; -1; -1), С(3; 3; 3), D(5; -5; -2).

25. А(0; 3; 4), В(5; 7; 6), С(-3; 0; 6), D(-1; -1; -1).

26. А(3; 2; 2), В(-4; -3; -2), С(5; 5; 5), D(6; 0; 3).

27. А(6; -2; 1), В(4; 4; 4), С(-2; 4; -3), D(-3; 2; -6).

28. А(5; 3; 2), В(2; -2; -2), С(7; -6; 5), D(4; -3; 4).

29. А(4; 3; 2), В(3; 1; 4), С(1; -2; -1), D(3; -5; 0).

30. А(5; 0; 4), В(1; -2; -4), С(2; -1; -3), D(-5; 1; 6).

 

Вычислить пределы функции.

31. , ,

32. , ,

33. , ,

34. ,,

35. , ,

36. ,,

37. , ,

38. ,,

39. ,,

40. , ,

 

 

Вычислить производную.

 

41. ;

42. ;

43.

44.

45.

46.

47.

48. ;

49. ;

50. ;

 

 

Исследовать функцию и построить ее график.

 

Вычислить интеграл.

61. , ,

62., ,

63., ,

64., ,

65., ,

66., ,

67., ,

68., ,

69., ,

70., ,

 

71.

a. Найти объем тела вращения, полученного в результате вращения кривой вокруг оси ох, и ограниченного плоскостями x=1, x=2.

b. Тело движется вдоль оси Ox и его скорость изменяется по закону . Найти путь, пройденный за первые 4 секунды движения.

 

72.

a. Найти объем тела вращения, полученного в результате вращения кривой вокруг оси ох, и ограниченного плоскостями x=1, x=2.

b. Тело движется вдоль оси Ox и его скорость изменяется по закону . Найти путь, пройденный за первые 4 секунды движения.

 

73.

a. Найти объем тела вращения, полученного в результате вращения кривой вокруг оси ох, и ограниченного плоскостями x=1, x=2.

b. Тело движется вдоль оси Ox и его скорость изменяется по закону . Найти путь, пройденный за первые 5 секунд движения.

 

74.

a. Найти объем тела вращения, полученного в результате вращения кривой вокруг оси ох, и ограниченного плоскостями x=1, x=3.

b. Тело движется вдоль оси Ox и его скорость изменяется по закону . Найти путь, пройденный за первые 3 секунды движения.

 

75.

a. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x² + 4, y =3.

b. Тело движется вдоль оси Ox и его скорость изменяется по закону . Найти путь, пройденный за промежуток времени от 1 до 4 секунд.

76.

a. Найти объем тела вращения, полученного в результате вращения кривой вокруг оси ох, и ограниченного плоскостями x=1, x=2.

b. Тело движется вдоль оси Ox и его скорость изменяется по закону . Найти путь, пройденный за первые 4 секунды движения.

 

77.

a. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = cosx, y = 0, , .

b. Тело движется вдоль оси Ox и его скорость изменяется по закону . Найти путь, пройденный за первые 4 секунды движения.

78.

a. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = sinx, y = 0, ,

b. Тело движется вдоль оси Ox и его скорость изменяется по закону . Найти путь, пройденный за первые 5 секунды движения.

79.

a. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

i. y = 0, х =-1, х = 3.

b. Тело движется вдоль оси Ox и его скорость изменяется по закону . Найти путь, пройденный за первые 4 секунды движения.

 

80.

 

a. Найти объем тела вращения, полученного в результате вращения кривой вокруг оси ох, и ограниченного плоскостями x=1, x=2.

b. Тело движется вдоль оси Ox и его скорость изменяется по закону . Найти путь, пройденный за первые 4 секунды движения.

 

Правила оформления титульного листа контрольной работы

МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ДЕЛАМ ГРАЖДАНСКОЙ ОБОРОНЫ, ЧРЕЗВЫЧАЙНЫМ СИТУАЦИЯМ И ЛИКВИДАЦИИ ПОСЛЕДСТВИЙ СТИХИЙНЫХ БЕДСТВИЙ Федеральное государственное Бюджетное Образовательное Учреждение Высшего Профессионального Образования Воронежский институт Государственной противопожарной службы   Кафедра прикладной математики и инженерной графики Контрольная работа по дисциплине «Высшая математика»     Вариант № 0   Выполнил слушатель 11 учебной группы ФЗО (6 лет обучения ВПО) ст. л-т внутренней службы Иванов Петр Иванович   Домашний адрес: 394000, г. Воронеж Ул. Никитинская, д.5 кв. 12.     ВОРОНЕЖ 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие………………………………………………………………………3

Указания по выполнению и оформлению контрольной работы………………4

1.Основы линейной алгебры……………………………………………………..5

Основные понятия………………………………………………………………..5

Свойства матриц…………………………………………………………………7

Свойства определителей…………………………………………………………8

Системы линейных алгебраических уравнений…………………………………9

2. Векторная алгебра…………………………………………………………….13

Векторы…………………………………………………………………………..14

Уравнение прямой и плоскости в пространстве………………………………17

3. Предел функции……………………………………………………………….22

Основные понятия……………………………………………………………….22

Специальные пределы……………………………………………………………23

4. Производная функции и её приложения…………………………………….26

Задачи, приводящие к понятию производной…………………………………..27

Основные правила нахождения производной. Таблица производных………...28

Вычисление производной функции………………………………………………29

Вычисление сложной функции…………………………………………………..29

Вычисление производной функции, заданной неявно…………………………..30

Производная степенно-показательной функции………………………………30

Производная обратной функции………………………………………………..31

Исследование функции на монотонность и экстремум, наибольшее и наименьшее значение…………………………………………………………….31

5. Функция. Её свойства и график……………………………………………...32

Общая схема исследования функции…………………………………………...33

6. Интегрирование функции…………………………………………………….36

Понятие и свойства неопределённого интеграла…………………………….36

Формулы интегрирования………………………………………………………37

Метод непосредственного интегрирования…………………………………...38

Интегрирование методом замены переменной……………………………….38

Интегрирование по частям…………………………………………………….39

Определённый интеграл и его приложения……………………………………40

Основные свойства определённого интеграла………………………………..40

Геометрический смысл определённого интеграла……………………………41

Физический смысл определённого интеграла………………………………….42

Таблица вариантов задания……………………………………………………..44

Задания для контрольной работы………………………………………………45

Правила оформления титульного листа контрольной работы………………..51

Оглавление……………………………………………………………………….52

Литература……………………………………………………………………….53

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. Для вузов/В.С. Шипачев. – 8-е изд., стер. – М.: Высш. Шк., 2007. – 479 с.: ил.

2. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для вузов/В.С. Шипачев. – 8-е изд., стер. – М.: Высш. Шк., 2008. – 304 с.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч 1. / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2009. – 288 с.

4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч 2. / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2009. – 256 с.

5. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1 / П.Е. Данко и др. – М.: Оникс, Мир и образование, 2009. – 368.

6. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2 / П.Е. Данко и др. – М.: Оникс, Мир и образование, 2009. – 448.

7. Лунгу К.Н., Высшая математика. Руководство к решению задач. Ч 1./ К.Н. Лунгу, Е.В. Макаров – 2-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 216с.