Уравнение прямой и плоскости в пространстве.
Определение.Плоскость (P) в пространстве с заданной декартовой прямоугольной системой координат может быть задана одним из следующих уравнений: Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости;
§ Условие параллельности плоскостей 
.
§ Условие перпендикулярности плоскостей 
.
§ Неполные уравнения плоскостей:
§ D=0 начало координат принадлежит плоскости;
§ A=0 плоскость параллельна оси OX;
§ B=0 плоскость параллельна оси OY;
§ C=0 плоскость параллельна оси OZ;
§ B=C=0 плоскость параллельна OYZ;
§ A=B=0 плоскость параллельна OXY;
§ A=C=0 плоскость параллельна OXZ;
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 – уравнение плоскости (P), проходящей через точку M(x0; y0; z0) и перпендикулярной вектору 
– вектору нормали к (P) ( вектором нормали к плоскости (P) называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный (P));
– уравнение плоскости в отрезках, где a, b, c –направленные отрезки, отсекаемые плоскостью на осях 0x, 0y, и 0z соответственно;
Уравнение плоскости, проходящей через три точки M1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2), M3(x3; y3; z3), не лежащие на одной прямой.
Расстояние от точки M0(x0; y0; z0) до плоскости (P), заданной общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, находится по формуле:
.
Угол j между плоскостями (P1):
и (P2): 
есть угол между нормалями 
и 
(с поправкой на направление, если угол тупой) к этим плоскостям:
или по формуле
Эти плоскости:
§ параллельны в том и только в том случае, если 
и 
коллинеарны;
§ перпендикулярны в том и только в том случае, если 
.
Определение. Прямая (L) в пространстве с заданной прямоугольной системой координат может быть задана:
Если имеется точка 
и направляющий вектор 
. Тогда уравнение прямой можно записать в виде: 
.
Уравнение прямой по двум точкам 
, 
имеет вид 
.
параметрическими уравнениями 
, заданные числа x0, y0, z0, l, m, n имеют тот же смысл, что и в канонических уравнениях;
общим уравнением
при этом (L) есть прямая пересечения плоскостей (P1):, (P2):.
Если уравнение прямой заданно как пересечение плоскостей, то направляющий вектор вычисляется по формуле:
Угол j между прямыми (L1) и (L2) есть угол между направляющими векторами 
и 
(с поправкой на направление, если угол между ними тупой):
.
Или по формуле:
.
Угол y между прямой (L): 
и плоскостью (P):
определяется по формуле
Пример.Даны вершины тетраэдра A(2,3,1),B(4,1,-2),C(6,3,7), D(-5,-4,8).
Найти:
1. длину ребра AB;
2. угол между ребрами AB и AD;
3. угол между ребром AD и плоскостью ABC;
4. объем тетраэдра ABCD;
5. уравнение ребра AB;
6. уравнение плоскости ABC;
7. уравнение высоты, опущенной из D на ABC;
8. проекцию точки D на ABC;
9. длину высоты DO.