Решение.
1. Вычислим расстояние между точками
.
2. Угол между векторами вычислим используя формулу для скалярного произведения.
Подставляя в формулу получим 
.
3.Угол между ребром и плоскостью вычисляется по формуле:
, где 
- вектор нормали к плоскости, 
- направляющий вектор прямой.
Направляющий вектор прямой совпадает с вектором 
и, следовательно с учетом предыдущего пункта 
.
Для нахождения вектора, ортогонального плоскости, нам надо найти вектор ортогональный двум векторам из (ABC), в качестве таких векторов возьмем 
и 
.
Вектор, полученный в результате векторного произведения этих векторов и будет искомым вектором.
, 
.
.
Поставляя в формулу получим: 
.
4. Для нахождения тетраэдра воспользуемся формулой через смешанное произведение.
, , 
Вычисляя смешанное произведение получим
.
5. Для нахождения уравнения мы можем воспользоваться формулой для вычисления прямой через две точки.
6. Для нахождения уравнения плоскости воспользуемся формулой, для нахождения плоскости, проходящей через три точки.
Получаем:
.
7. Для нахождения высоты, нам необходимо знать направляющий вектор, в качестве которого можно взять вектор нормали и точку, через которую проходит высота.
, D(-5,-4,8).
Тогда уравнение высоты имеет вид:
.
8. Для нахождения точки пересечения высоты с плоскостью запишем уравнение высоты в параметрическом виде:
Подставляя в уравнение плоскости получим
Откуда 
И, подставляя в параметрическое задание прямой, получаем координаты точки пересечения:
9. Длину высоты можно вычислить как расстояние между точками D и O. Получим:
.
Тема: «Предел функции»
Вопросы:
- Понятие предела.
- Свойства пределов.
- Первый и второй замечательный предел.
- Правила вычисления пределов.
В результате изучения темы слушатели должны уметь:
- Вычислять пределы.
Эти вопросы рассмотрены в [1],[3],[5] и в [2],[3],[5] приведены примеры решений типовых задач.
[1] Глава 4. Функции одной переменной. Стр. 69-103.
Глава 11. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Стр. 275-283.
[2] Глава 11. Понятие, предел и непрерывность функций нескольких переменных. Стр. 179-183.
[3] Глава 5. Введение в анализ. Стр. 97-185.
[5] Глава 6. Введение в анализ. Стр. 172-189.