Начальные понятия теории множеств

 

Понятие множества является основным, неопределяемым понятием, поэтому мы можем его только пояснить, например, с помощью следующего псевдоопределения.

Определение: Под множеством S будем понимать любое собрание определенных и различимых между собою объектов, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества S.

В этом интуитивном определении, принадлежащем немецкому математику Георгу Кантору (1845-1918), существенным является то обстоятельство, что собрание предметов само рассматривается как один предмет, мыслится как единое целое. Что касается самих предметов, которые могут входить во множество, то относительно них существует значительная свобода. Это может быть множество студентов в аудитории, множество целых чисел, множество точек плоскости. Заметим, что канторовская формулировка позволяет рассматривать множества, элементы которых по той или иной причине нельзя точно указать (например, множество простых чисел, множество белых носорогов и т. п.). Не следует думать, что множество обязательно должно содержать в каком-то смысле однородные объекты. Можно объединить в одно множество и королей и капусту.

Символом Î обозначается отношение принадлежности. Запись xÎS означает, что элемент x принадлежит множеству S. Если элемент x не принадлежит множеству S, то пишут xÏS.

Г. Кантором сформулировано несколько интуитивных принципов, которые естественно считать выполняющимися для произвольных множеств.