· Формула называется выполнимой, если на некотором наборе распределения истинностных значений переменных она принимает значение И.
· Формула называется тождественно-ложной или противоречием, если она ложна независимо от того, какие значения принимают встречающиеся в ней высказывательные переменные.
· Формула называется опровержимой, если при некотором распределении истинностных значений переменных она принимает значение Л.
Приведем утверждения, которые являются очевидными следствиями данных определений:
· A - тавтология тогда и только тогда, когда A не является опровержимой;
· A - тождественно-ложна тогда и только тогда, когда A не является выполнимой;
· A - тавтология тогда и только тогда, когда ØA - тождественно-ложна;
· A - тождественно-ложна тогда и только тогда, когда ØA - тавтология;
· A~B - тавтология тогда и только тогда, когда A и B - равносильны.
С точки зрения логики тавтологии суть не что, иное, как логические законы, ибо при любой подстановке вместо переменных тавтологии конкретных высказываний в результате получим истинное высказывание.
Перечислим наиболее важные тавтологии (A, B, C - произвольные формулы):
1. AÚØA (закон исключенного третьего или tertium nondatur);
2. AÉA;
3. AÉ(BÉA);
4. (AÉB)É((BÉC)É(AÉC)) (цепное рассуждение);
5. (AÉ(BÉC))É((AÉB)É(AÉC));
6. (A&B)ÉA; (A&B)ÉB;
7. AÉ(BÉ(A&B));
8. AÉ(AÚB); BÉ(AÉB);
9. (ØBÉØA)É((ØBÉA)ÉB);
10. ((AÉB)ÉA)ÉA (закон Пирса).
Каждую из этих тавтологий можно обосновать, например, составив таблицу и вычислив по ней значение формулы при произвольных значениях A, B и C.