Интуитивный принцип объемности

Определение. Множества Aи B считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Записывают A=B, если A и B равны, и A¹B - в противном случае.

Пример 1.1. Проиллюстрируем принцип объемности. Множество A всех положительных четных чисел равно множеству B положительных целых чисел, представимых в виде суммы двух положительных нечетных чисел. Действительно, если xÎA, то для некоторого целого положительного числа m x = 2m; тогда x = (2m - 1) + 1, т. е. xÎB. Если xÎB, то для некоторых целых положительных p и q x = (2p - 1) + (2q -1) = 2(p + q -1), т. е. xÎA.

Множество, элементами которого являются объекты a₁, a₂,…, a_n и только они, обозначают { a₁, a₂,…, a_n }. При этом порядок, в котором элементы расположены при описании множества не имеет значения; не имеет значения также возможность неоднократного повторения одних и тех же элементов при описании множества.

Пример 1.2. В силу принципа объемности {2, 4, 6} = {4, 2, 6} = {2, 4, 4, 6}; {{1, 2}} ¹ {1,2}, так как единственным элементом множества {{1,2}} является множество {1,2}, а множество {1,2} состоит из двух элементов: чисел 1 и 2.

При рассмотрении способов задания множеств возникает проблема их эффективного описания. Ее решение обычно основано на интуитивном понятии "форма от x". Под формой от x будем понимать конечную последовательность, состоящую из слов и символа x, такую, что если каждое вхождение x в эту последовательность заменить одним и тем же именем некоторого предмета соответствующего рода, то в результате получится истинное или ложное предложение. Например формами от x являются следующие предложения; "3 делит x", "x² + 2x +1 > x", "x² = 4", "x - родственник Иванова". Напротив, предложения "для всех x x² - 4 = (x - 2)(x +2)", "существует такое x, что x>0" и "(x+1)/(x-1)" не являются формами от x.

Обозначим форму от x через P(x).

Интуитивный принцип абстракции

Определение. Любая форма P(x) определяет некоторое множество A, а именно множество тех и только тех предметов a, для которых P(a) - истинное предложение.

Для множества A, определяемого формой P(x), принято обозначение A = {x|P(x)}.

Пример 1.3.

1. {x | x - положительное число, меньшее 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

2. {x | x - четное число} - множество четных чисел.

Описанные выше понятия теории множеств с успехом могут быть использованы в началах анализа, алгебры, математической логики и т. д. Однако надо иметь в виду, что при более строгих рассмотрениях такое интуитивное восприятие может оказаться неудовлетворительным.

Парадокс Бертрана Рассела(1872-1970). (О несовершенстве интуитивных представлений о множествах.) Можно указать такие множества, которые принадлежат самим себе как элементы, например, множество всех множеств, и такие множества, которые не являются элементами самих себя, например, множество {1, 2}, элементами которого являются числа 1 и 2. Рассмотрим теперь множество A = { X | X ÏX}. Тогда, если AÏA, то, по определению, AÎA. С другой стороны, если AÎA, то A - одно из тех множеств X, которые не есть элементы самих себя, т. е. AÏA. В любом случае A есть элемент A и A не есть элемент A.

Другая, более популярная форма этого парадокса известна как парадокс брадобрея. Владелец парикмахерской в одном селе повесил следующее объявление: "Брею тех и только тех жителей села, кто не бреется сам". Спрашивается, кто бреет брадобрея?

Этот парадокс свидетельствует о том, что широко используемая теория множеств в ее интуитивном, "наивном" изложении является противоречивой. Формализация теории множеств, связанная, в частности, с устранением парадоксов, способствовала развитию не только методов теории множеств, но и такой науки, как математическая логика.

Через Í обозначим отношение включения между множествами, т. е. AÍB, если каждый элемент множества A есть элемент множества B. Тогда говорят, что A есть подмножество множества B. Если AÍB и A¹B, то говорят, что A есть собственное подмножество B, и пишут AÌB.

Пример 1.4. Множество четных чисел есть подмножество множества целых чисел; множество рациональных чисел есть подмножество множества действительных чисел; {1, 2} Í {1,2,3,4}.

Заметим, что: а) XÍX; б) если XÍY, YÍZ, то XÍZ; в) если XÍY и YÍX , то X=Y.

Не надо смешивать отношения принадлежности и включения. Хотя 1Î{1}, {{1}}Í{{1}}, не верно, что 1Î{{1}}, так как единственным элементом множества {{1}} является {1}.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается Æ. Пустое множество есть подмножество любого множества.

Множество всех подмножеств A называется множеством-степенью и обозначается P(A).

Пример 1.5. Если A = {1,2,3}, то P(A) = {Æ, {1}, {2},{3},{1, 2}, {1, 3}, {2,3}, A}.

В дальнейшем неоднократно будем пользоваться утверждением, что если множество A состоит из n элементов, то множество P(A) состоит из 2ⁿ элементов.