Существуют такие виды логических рассуждений, которые нельзя формализовать на языке логики высказываний. Вот примеры таких рассуждений:
1. Каждый любит сам себя. Значит, кого-то кто-нибудь любит.
2. Ни одно животное не бессмертно. Собаки - животные. Значит некоторые собаки не бессмертны.
3. Всякий, кто может решить эту задачу, - математик. Ни один математик не может решить эту задачу. Значит, она неразрешима.
4. Перья есть только у птиц. Ни одно млекопитающее не является птицей. Значит, все млекопитающие лишены перьев.
Чтобы выяснить корректность этих рассуждений недостаточно установить только истинностно-функциональные отношения между входящими в них предложениями, но необходимо также исследовать внутреннюю структуру предложений, а также понять такие слова как "каждый", "всякий" и "некоторые".
В этих приведенных выше предложениях в каждом рассуждении рассматриваются объекты (сущности) из различных предметных областях. Эти объекты обладают различными свойствами и связаны друг с другом различными отношениями. Удобно ввести специальные обозначения. Во-первых, введем специальные переменные, значениями которых будут объекты из соответствующих предметных областей. Обозначим такие переменные символами x и y. Во-вторых, свойства объектов и бинарные отношения между объектами будем обозначать, например, P(x) и Q(x,y), соответственно. И, в-третьих, фразы вида "все x обладают свойством P" и "некоторые x обладают свойством P" будем обозначать символически "xP(x) и $xP(x), соответственно.
Используя приведенные обозначения, можно переписать предыдущие рассуждения в таком виде, чтобы лучше увидеть его структуру.
1. Если "xQ(x,x), то "x$y Q(y,x). В данном случае Q(x,y) обозначает бинарное отношение "x любит y".
2. Если "x(A(x)ÉØM(x)) и "x(C(x)ÉA(x)), то $x(C(x)ÉØM(x)). В данном случае A(x) обозначает свойство "x - животное", M(x) обозначает свойство "x - бессмертно" и C(x) обозначает свойство "x - собака".
3. Если "x(S(x)É M(x)) и "x(M(x)ÉØS(x)), то Ø$xS(x). Здесь S(x) обозначает свойство "x может решить задачу" и M(x) обозначает свойство "x - математик".
4. Если "x(P(x)ÉB(x)) и "x(M(x)ÉØB(x)), то "x(M(x)ÉØP(x)). Здесь P(x) обозначает свойство "x имеет перья", B(x) обозначает свойство "x - птица" и M(x) обозначает свойство "x - млекопитающее".
Введенные обозначения принадлежат языку логики предикатов. Рассмотрим предложения, зависящие от параметров:
"x - четное число";
"x меньше y";
"x + y = z";
"x - отец Иванова Олега";
"x и y - братья";
"x - является смертным".
Все эти предложения становятся истинными или ложными (т. е. становятся высказываниями) при замене предметных переменных на соответствующие предметные константы.
Определение.
Предикатом P(x1, x2,…, xn) называется функция
P : Mn à {И, Л}.
Множество M определяется контекстом, элементы этого множества предметные (индивидные) константы.
Предикат от n аргументов называется n-местным или n-арным. Любое высказывание можно рассматривать как нульместный предикат (постоянная функция).
Некоторые примеры предикатов мы уже видели:
Q(x,y) - бинарное отношение "x любит y";
M(x) - "x - является математиком";
P(x) - "x имеет перья".
Над предикатами можно проводить обычные логические операции и, тем самым, создавать новые предикаты.