Функции
Определим понятие "функция", следуя Дирихле. По сути дела при таком определении мы отождествляем функцию с ее графиком. Это одно из возможных определений. Другое определение, когда функция, рассматривается как закон вычисления некоторого значения, рассматривается в главе 6.
Определение. Бинарное отношение f называется функцией, если из <x, y> О f и <x,z> О f следует y = z.
Поскольку функции являются бинарными отношениями, то к ним применим интуитивный принцип объемности, т. е. две функции f и g равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Область определения функции обозначается Df, а область её значений - Rf. Определяются они также как и для бинарных отношений. Часто приходится сталкиваться с трудностями при определении области значений функции. Поэтому, если Df=X и RfНY, то говорят, что функция f задана на множестве X со значениями во множестве Y и осуществляет отображение множества X во множество Y (или устанавливает соответствие между множествами X и Y). Это отображение обозначается таким образом: f: X аY.
Если f - функция, то вместо <x, y>О f пишут y = f(x) и говорят, что y - значение, соответствующее аргументу x, или y - образ элемента x при отображении f. При этом x называют прообразом элемента y.
Пример 1.10. Отношение {<1, 2>, <2, 3>, <ѓ, 0>} - функция: отношение {<1, 2>, <1, 3>, <2, 4>} не является функцией: отношение {<x, x2 + 2x +1> | x - действительное число} - функция, которую обычно обозначают y= x2+2x+1.
Назовем f n-местной функцией из X в Y, если f: XnаY. Тогда пишем y = f(x1,…, xn) и говорим, что y - значение функции при значении аргументов x1,…, xn.
Пусть дана функция f: XаY. Подчеркнем еще раз три особенности нашего определения функции (рис. 2):
· несколько элементов из области определения Df = X могут иметь один и тот же образ в области значений (f(c) = f (d) = f(e) = 1);
· не все элементы из Y обязаны быть образом некоторых элементов X (нет элемента x Î X такого, что f(x) = 4);
· для любого элемента из X, если существует образ, то он должен быть единственным (для функции недопустимо, чтобы одному элементу x Î X соответствовало два разных значений f(x)).
 |
Рис. 2. f: {a,b,c,d,e}а{1,2,3,4,5}
Определение. Пусть f: XаY.
· Функция (отображение) f называется инъективной (инъективным), если для любых x1, x2, y из y = f(x1) и y = f(x2) следует, что x1 = x2 (или, иначе, из <x1, y>Оf и <x2, y>Оf следует, что x1 = x2). Менее формально, функция f - инъективна, если для всех x1, x2ÎX выполняется: x1¹x2 Þ f(x1) ¹ (x2).
· Функция (отображение) f называется сюръективной (сюръективным), если для любого элемента yОY существует элемент xОX такой, что y = f(x).
· Функция (отображение) f называется биективной (биективным), если f одновременно инъективна и сюръективна. Если существует биективная функция f: XаY, то говорят, что f осуществляет взаимно-однозначное соответствие между множествами X и Y.
Пример 1.11.Рассмотрим три функции, отображающие множество действительных чисел В во множество действительных чисел fi: ВаВ, i = 1,2,3,4:
1) функция f1(x) = ex инъективна, но не сюръективна;
2) функция f2(x) = x3-x сюръективна, но не инъективна;
3) функция f3(x) = 2x+1 биективна;
4) функция f4(x) = x2 не является ни инъективной, ни сюръективной.
Композиция двух функций f и g есть отношение gлf = {<x, z> | существует y такое, что xfy и ygz}.
Теорема 1.3. Композиция двух функций есть функция. При этом, если f: XаY, g: YаZ, то gлf: XаZ.
Действительно, если <x, y> О gлf и <x, z>О gлf, то существует такое u, что xfu, ugy, и существует такое v, что xfv, vgz. Поскольку f - функция, то u = v; поскольку g - функция, то y=z и, следовательно, gлf - функция. Вторая часть утверждения очевидна.
Если f: XаY, g: YаZ, то gлf: XаZ. Тогда используется более привычная запись для композиций функций: z = g(f(x)).
Верно также и следующее утверждение.
Теорема 1.4. Композиция двух биективных функций есть биективная функция.
Определение. Тождественным отображением множества X в себя называется отображение eX : XаX такое, что для любого xОX eX(x)=x. Тогда, если f: XаY, то eXлf = f, fлeX = f.
Пусть F-1 - отношение, обратное F. Выясним, при каких условиях отношение F-1 будет функцией. Его называют тогда обратной функцией или, если F осуществляет отображение множества X во множество Y, обратным отображением.
Теорема 1.5. Отображение F : XаY имеет обратное отображение F-1: YаX тогда и только тогда, когда F - биекция.
Если F - биекция, то, поскольку F сюръективно, F-1 определено на множестве Y. Кроме того, F -1- функция, так как если <y, x1>О F-1 и <y, x2>О F-1, то <x1, y>ОF и <x2, y>ОF, а в силу инъективности F имеем x1 = x2.
Пусть теперь отображение F имеет обратное отображение F-1, определенное на множестве Y со значениями во множестве X. Тогда F сюръективно, поскольку любой элемент yОY имеет прообраз xОX. При этом F инъективно, так как если <x1, y>ОF и <x2, y>ОF, то <y, x1>О F-1 и <y, x2>О F-1, а поскольку F-1 - функция, то x1 = x2.
Заметим, что для того, чтобы обратное отношение F-1 было функцией, достаточно инъективности функции F. Поэтому функция F(x) = x2 : RàR не будучи биекцией, не имеет обратной функции. Эта функция не имеет обратной, если даже она будет отображением на множество неотрицательных вещественных чисел.
Поскольку функция есть бинарное отношение, то выполняются следующие свойства инъективных функций F и G:
1) (F-1)-1 = F;
2) (GлF)-1 = F-1лG-1.
Если F: XаY - биекция, то
1) F-1лF = eX;
2) FлF-1 = eY.