Система создавалась Бочваром Д.А. [36] для разрешения парадоксов классической математической логики методом формального доказательства бессмысленности определенных высказываний. Например, ему удалось разрешить парадокс Рассела о множестве всех нормальных множеств и доказать несуществование такого предмета, как множество всех нормальных множеств. Это означает, что множество всех нормальных множеств нельзя рассматривать как фиксированный объект, не изменяющийся от времени.
Создавая свою систему Д.А. Бочвар, разделил высказывания на имеющие смысл («истина» или «ложь») и бессмысленными. Он выделил внешние и внутренние формы (функции).
Внутренние функции называются классическими содержательными функциями переменных высказываний, а внешние – неклассическими. Обозначив «истина» за R или 1, «ложь» – F или 3, «бессмысленность» – S или 2, автор ввел отрицание внутреннее – «~а», внешнее отрицание – «┐а», «ā» – внутреннее отрицание внешнего утверждения, «≡» – внешняя равнозначность, «↔» – внешняя равносильность. В логике Бочвара Д.А. законы тождества, отрицания двузначной логики не являются тавтологиями.
Отрицание закона тождества как раз и позволило разрешить парадокс Рассела.
В логике Бочвара Д.А. формулы, приведенные ниже являются противоречиями:
а Ù┐а;
а ↔ ā;
а ≡ ┐а.