Грамматическими средствами в разговорном языке из нескольких высказываний можно составить сложное (составное) высказывание. Например, с помощью союзов "и", "или" и отрицательной частицы "не" можно из простых высказываний "Москва - столица США" (ложного) и "Берлин - столица Германии" (истинного) составить следующие сложные высказывания: "Москва - не столица США", "Москва - столица США или Берлин - столица Германии", "Москва - столица США и Берлин - столица Германии". Первые два высказывания истинны, а последнее ложное.
В математической логике используются специальные операции (конструкции), позволяющие из исходных высказываний получать более сложные высказывания. Эти операции обозначаются символами: "&", "Ú", "É", "~", "Ø". Первые четыре операции - бинарные (двуместные), пятая - унарная (одноместная).
Эти логические операции (связки) над высказываниями таковы, что истинностные значения составных высказываний определяются только истинностными значениями составляющих высказываний, а не их смыслом.
Отрицанием высказывания P называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание P ложно. Отрицание P обозначается через Ш P и читается как "не P". Отрицание высказывания определяется также таблицей истинности (см. табл. 1).
В разговорной речи отрицание соответствует составлению из высказывания P нового высказывания, которое передается словами "неверно, что P" или "не P".
Таблица 1
| P | ШP |
| И | Л |
| Л | И |
Конъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания. Конъюнкция высказываний P и Q обозначается через P&Q и читается как "P и Q". Конъюнкция определяется также таблицей истинности (см. табл. 2).
В разговорной речи конъюнкция соответствует обычно соединению высказываний союзом "и". Кроме того, следующий список выражений в словесных рассуждений часто может истолковываться как конъюнкция: "не только A, но и B", "как A, так и B", "A вместе с B", "A, в то время как B", "B, хотя и A".
Таблица 2
| P | Q | P&Q |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | Л |
| Л | Л | Л |
Дизъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны. Дизъюнкция высказываний P и Q обозначается через PЪQ и читается как "P или Q". Дизъюнкция определяется также таблицей истинности (см. табл.3).
В разговорной речи дизъюнкция соответствует соединению высказываний союзом "или" в "неразделительном смысле". Дизъюнкция передается также часто выражениями: "... или ... или оба", "и/или".
Таблица 3
| P | Q | PЪQ |
| И | И | И |
| И | Л | И |
| Л | И | И |
| Л | Л | Л |
Из двух высказываний P и Q можно составить высказывание "P влечет Q" (или, иначе, "если P, то Q"). Не математик может признать утверждение типа "если 2‰2 = 5, то Москва - столица России" ложным, поскольку для него истинность высказывания "P влечет Q" означает, что P по смыслу должно влечь за собой Q. Но тогда связка "влечет" зависит от смысла самих этих высказываний. Однако практика показывает, что можно обороты типа "P влечет Q" и "из P следует Q" использовать таким образом, чтобы под ними каждый раз подразумевалась некоторая операция, не зависящая от смысла высказываний. Рассмотрим следующие высказывания [24, с. 25]:
1) если 0 = 0, то 1 = 1; 2) если 0 = 1, то 0 = 0;
3) если 0 = 0, то 0 = 1; 4) если 0 = 1, то 1 = 2.
Первое утверждение естественно считать истинным, поскольку, используя равенство 0 = 0, а также другие свойства чисел, можно вывести равенство 1 = 1 (например, прибавляя 1 к обеим частям равенства 0 = 0).
Второе утверждение также естественно считать истинным: умножая на 0 обе части равенства 0 = 1, получаем равенство 0 = 0.
Третье утверждение приходится считать ложным, ибо, исходя из верного равенства, мы с помощью умозаключений никогда не придем к ложному.
Четвертое рассуждение естественно считать истинным: прибавляя 1 к обеим частям равенства 0 = 1, получаем равенство 1 = 2.
Таким образом, используя оборот "если P, то Q" как логическую операцию (связку), определим её следующим образом.
Импликацией двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда P - истинно, а Q - ложно. Импликация высказываний P и Q обозначается через PЙQ (или PЮQ) и читается как "P влечет Q" (или, иначе, "если P, то Q", "из P следует Q", "Q только, если P", "коль скоро A, то B", "в случае A имеет место B", "для B достаточно A", "для A необходимо B"). Высказывание P называется посылкой импликации, а высказывание Q - заключением импликации. Импликация определяется также таблицей истинности (см. табл. 4).
Таблица 4
| P | Q | PЙQ |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | И |
| Л | Л | И |
Эквиваленцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинностные значения P и Q совпадают. Эквиваленция высказываний P и Q обозначается через P~Q и читается как "P эквивалентно Q" (используются также слова "равносильно", "тогда и только тогда", "если A, то B, и обратно", "A, если и только если B", "для A необходимо и достаточно B"). Эквиваленция определяется также таблицей истинности (см. табл. 5).
Таблица 5
| P | Q | P~Q |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | Л |
| Л | Л | И |