Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние и структурные средние
Степенные средние:
Средняя арифметическая - используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным статистическим данным, где нужно получить среднее слагаемое. Эта средняя используется, когда веса (f) отсутствуют (каждый вариант признака повторяется только один раз) или равны между собой.
где n – численность совокупностей
При расчете средних величин отдельные значения признака, который осредняется, могут повторяться, поэтому расчет средней величины производится по сгруппированным данным. В этом случае речь идет об использовании средней арифметической взвешенной, которая имеет вид
Средняя гармоническая. Эту среднюю называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1.
Простая средняя гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы. Ее формулу можно вывести из базовой формулы, подставив k = -1:
К примеру, нам нужно вычислить среднюю скорость двух автомашин, прошедших один и тот же путь, но с разной скоростью: первая - со скоростью 100 км/ч, вторая - 90 км/ч. Применяя метод средней гармонической, мы вычисляем среднюю скорость:
В статистической практике чаще используется гармоническая взвешенная, формула которой имеет вид
Данная формула используется в тех случаях, когда веса (или объемы явлений) по каждому признаку не равны. В исходном соотношении для расчета средней известен числитель, но неизвестен знаменатель.
Средняя геометрическая. Чаще всего средняя геометрическая находит свое применение при определении средних темпов роста (средних коэффициентов роста), когда индивидуальные значения признака представлены в виде относительных величин. Она используется также, если необходимо найти среднюю между минимальным и максимальным значениями признака (например, между 100 и 1000000).
Для простой средней геометрической
, где nxi – x1*x2*...*xn
Для взвешенной средней геометрической
, где nxi –
Средняя квадратическая величина. Основной сферой ее применения является измерение вариации признака в совокупности (расчет среднего квадратического отклонения).
Формула простой средней квадратической
Формула взвешенной средней квадратической
Средняя хронологическая (даны показатели за год, и присутствует месяц следующего года)
Средняя хронологическая простая:
Средняя хронологическая взвешенная:
Структурные средние:
1) Мода (Mо) – значение признака наиболее часто встречающегося в исследуемой совокупности, т.е. это одна из вариантов признака, которая в ряду распределения имеет наибольшую частоту (частость).
В дискретном ряду мода определяется визуально по максимальной частоте или частости.
В интервальном ряду по наибольшей частоте определяется модальный интервал, а конкретное значение моды в интервале рассчитывается по формуле: где, x0 и h – соответственно нижняя граница и величина модального интервала. FМо fМо-1 fМо+1 - частоты модального, предмодального и послемодального интервалов.
2) Медиана (Ме) – значение признака (варианта), приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности, т.е. это вариант, который делит ряд распределения на две равные по объему части.
Медиана, как и мода, не зависит от крайних значений вариантов, поэтому меняется для характеристики центра в ряду распределения с неопределенными границами.
Для определения медианы в ранжированном ряду необходимо вначале найти номер медианы затем используются кумулятивные частоты Si (частость Sd).
В дискретном ряду распределения медиана находится непосредственно по накопленной частоте, соответствующей номеру медианы.
(Нечетное число = среднее значение, четное число = полу сумма двух средних членов).
В интервальном вариационном ряду распределения медиана находится по формуле
В симметричных рядах распределения значения моды и медианы совпадают со средней величиной, а в умеренно ассиметричных они соотносятся как: 3(x-Ме)~x-Mо
Выбор формы средней величины зависит от исходной базы расчета средней и от имеющейся экономической информации для ее расчета.
Исходной базой расчета и ориентиром правильности выбора формы средней величины являются экономические соотношения, выражающие смысл средних величин и взаимосвязь между показателями.