Постановка задачі
В роботі вивчається вплив двох одночасно діючих факторів x1 і x2.
Результати експерименту наведені в таблиці 1 і містять 
спостережень параметра 
де j - порядковий номер рівня варіювання фактора 
g - порядковий номер рівня варіювання фактора 
l - порядковий номер досліду, що дублюється в серії при кожному jg сполученні рівнів двох факторів,
(для спрощення розрахунків розглянемо спочатку випадок рівнокількісних спостережень при всіх можливих з'єднаннях рівнів, тобто 
).
Обчислимо середні арифметичні 
серій з m повторних спостережень для кожного об'єднання рівнів j і g факторів x1 і x2
(1)
середні арифметичні 
по рядках з 
паралельних спостережень для будь-якого j-го рівня фактора x1
(2)
середні арифметичні 
по рядках з паралельних спостережень для будь-якого g-го рівня фактора x2
(3)
загальне середнє арифметичне 
всіх 
спостережень по всім 
варіантам рівнів
(4)
Таблиця 1 - Результати експерименту
| № g рівня фактора x2 № j рівня фактора x1 | ... | g | ... | u2 | 
| ||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| y111 | y121 | … | y1g1 | … | 
| 
| |
| y112 | y122 | … | y1g2 | … | 
| ||
| … | … | … | … | … | … | ||
| y11l | y12l | … | y1gl | … | 
| ||
| … | … | … | … | … | … | ||
| y11m | y12m | … | y1gm | … | 
| ||
| y211 | y221 | … | y2g1 | … | 
| 
| |
| y212 | y222 | … | y2g2 | … | 
| ||
| … | … | … | … | … | … | ||
| y21l | y22l | … | y2gl | … | 
| ||
| … | … | … | … | … | … | ||
| y21m | y22m | … | y2gm | … | 
| ||
| . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . |
| j | yj11 | yj21 | … | yjg1 | … | 
| 
|
| yj12 | yj22 | … | yjg2 | … | 
| ||
| … | … | … | … | … | … | ||
| yj1l | yj2l | … | yjgm | … | 
| ||
| … | … | … | … | … | … | ||
| yj1m | yj2m | … | yjgm | … | 
| ||
| . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . | . . . |
Продовження таблиці 1
| u1 | 
| 
| … | 
| … | 
| 
|
| 
| … | 
| … | 
| ||
| … | … | … | … | … | … | ||
| 
| … | 
| … | 
| ||
| … | … | … | … | … | … | ||
| 
| … | 
| … | 
| ||
| 
| 
| … | 
| … | 
| 
|
При позначеному розташуванні спостережень їхнє розсіювання в кожній серії щодо середнього тієї ж серії, обумовлене дією тільки випадкових причин (з дисперсією s). Розсіювання ж самих середніх серій за всіма можливими сполученнями рівнів x1 і x2 навколо загального середнього крім фактора випадковості викликано впливом фактора взаємодії x1x2 (з дисперсією 
). Крім цих факторів на розсіювання середніх по рядках впливає тільки один фактор x1 (з дисперсією 
), а на розсіювання середніх по стовпцях - тільки один фактор x2 (з дисперсією 
), тому що всі рівні іншого фактора в кожному з цих випадків усереднені.