Тема: Критерий Пирсона

 

Критерий Пирсона служит для проверки адекватности теоретической графической или аналитической зависимости (формулы) результатам экспериментальных однофакторных или многофакторных измерений, соответствующих определенному закону распределения. Критерий Пирсона целесообразно применять для обработки больших статистических выборок.

В соответствии с критерием Пирсона гипотеза в законе распределения (адекватность) подтверждается, если соблюдаются следующие условия :

Р (х²,q) > α = 1 – φ (х) (1)

Где: Р – критерий Пирсона;

α = 1 – φ (х) - уровень значимости, обычно принимается равным величине 0,10;

Х – критерий согласия Пирсона;

q – число степеней свободы, q = m –s;

m – количество серий (групп) большой выборки или число измерений в одной серии при анализе односерийного эксперимента;

s – число используемых констант (связей).

Значения Х² вычисляют по формуле:

Х² = å(х_эί– х_тί)² /х_тί (2)

Где: У_эί и У_тί – количество измерений (частота) в каждой серии, соответственно по данным эксперимента и теоретической кривой.

Пусть имеется большая выборка N измерений, которые следует разделить на m серий Х₁ …Х₂; Х₃ …Х₄; и т. д.. По данным измерений в каждой серии может оказаться У измерений. Так в диапазоне Х₁ …Х₂ имеется У_э1 измерений (частота) в диапазоне Х₃ …Х₄ имеется У_э2 и т.д..

N = åх_э

По данным эксперимента строят экспериментальную кривую У_э =f(х). Эту кривую можно аппроксимировать какой-то теоретической кривой (законом Пуассона, показательным, логарифмическим, нормальным и т.д.). Для полученной теоретической кривой устанавливают соответствующие экспериментальные частоты У_mi, производят вычисление критерия согласия Пирсона и сравнивают его с расчетным для заданной степени свободы по табл. 10.13 [1, с.314].

 

Задание.

Проведено N=16 экспериментальных однофакторных измерений некоторой величины Х_ί . Необходимо определить закон распределения.

Пример

Рассмотрим пример выполнения практической работы в продукте программного обеспечения Microsoft Excel, Данная работа выполняется в следующей последовательности:

1. По варианту задания создаем таблицу (матрицу) со значениями и строим в программе Microsoft Excel точечный график, далее подбираем теоретическую кривую (линию тренда), ориентируясь на величину корреляции близкой к единице (R ²—›1).

 

 

 

2. На графике отмечаем диапазоны значений х

 

Определяем точкиминимального и максимального значения величины Х. Точки, которые попали в границы данных диапазонов и будут являться нашими частотами. В данном примере, это значения:

(23,4-28,9); (55-57,4); (60,4-65,6);(72,8-76,3)

 

3. По формуле (2) вычисляют экспериментальный критерий согласия Пирстона

 

Х_э ² =(23,4-28,9)²/28,9+(55-57,4)²/57,4+(60,4-65,6)²/65,6+ (72,8-76,3)²/76,3=1,7

4. По количеству серий m=4и числу степеней свободы q = 4-2 (s=2) по табл. 10.13 [1, с.314], в соответствии с критерием согласияХ =1,3 определяется критерий Пирсона, который равен Р=0,578 и сравнивается с уровнем значимости (α).

При сравнении установлено, что 0,534> 0,10 – это свидетельствует об адекватности результатов экспериментов (точек) полученному закону распределения (график), т.е. об достаточной сходимости результатов экспериментов полученной графической зависимости.

 

 

 

Исходные данные для выполнения задания по вариантам представлены в таблице 1.

 

Значения yi	ВАРИАНТ
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28
Эксперементальные значения Хi
	0,3	7,8	1,3	23,4	7,7	3,2	4,1			3,2	3,1				0,5	8,8	1,3	23,4	7,7	3,2	4,1			23,4	7,7	3,2	4,1	22,4
	0,85		3,4	28,9	10,8	7,7	8,8	41,1		7,7	6,8	45,1			0,85		4,4	28,9	10,8	7,7	8,8	41,1		28,9	10,8	7,7	7,8	28,9
	0,55	11,3	7,5	35,7	13,36	11,2	12,3	40,8		11,2	12,3	40,8			0,65	11,3	7,5	35,7	8,36	11,2	12,3	40,8		35,7	13,36	14,2	12,3	35,7
	0,9	6,8	4,5		11,8	16,4	13,1			16,4	14,1				0,95	8,8	4,5		11,8	12,4	13,1				11,8	16,4	13,1
	1,2	12,2	10,3	36,3	15,6	13,5	15,5	38,2		13,5	17,5	38,2			1,3	13,2	10,3	36,3	15,6	18,5	15,5	38,2		39,3	15,6	13,5	15,5	36,3
	3,3		14,4	45,7	17,9	20,7	19,3	35,5		20,7	19,3	33,5			3,3		14,4	45,7	17,9	20,7	20,3	35,5		45,7	17,9	20,7	18,3	45,7
	6,66	15,8	15,8		23,5	23,6	23,3	28,1		23,6	21,3	29,1			6,66	15,8	15,8		23,5	23,6	23,3	28,1			23,5	22,6	23,3
	8,98	14,9	12,3	55,9	26,7	22,1	28,3	25,1		22,1	27,3	25,1			8,9	14,9	12,3	55,9	26,7	22,1	27,3	25,1		55,9	25,7	22,1	28,3	55,9
	10,7			57,4		26,3	31,1	21,4		26,3	30,1	20,4			10,7			57,4		25,3	31,1	21,4		58,4		26,3	31,1	57,4
	12,8	16,5	19,3	60,4	28,8	28,4	42,2			28,4	35,2	18,8			12,8	19,5	19,3	60,4	26,8	28,4	42,2			60,4	26,8	28,4	42,2	60,4
	15,3		20,8	49,9	33,5	30,2	43,3			30,2	43,3				16,3	21,2	20,8	48,9	37,5	30,2	43,3			49,9	33,5	31,2	43,3	49,9
	18,2	20,1	17,7	62,8	45,5	33,2	48,1	18,7		33,2	45,1				19,2	24,1	17,7	62,8	45,5	34,2	48,1	18,7		62,8	45,5	33,2	44,1	62,8
	21,4		23,5	64,4	52,3	36,3	53,7	14,2		36,3	49,7	14,2			21,4		23,5	64,4	52,3	36,3	53,7	14,2		64,4	52,3	36,3	53,7	67,4
	25,6	21,5	27,7	65,6	58,9	32,2	55,5	10,8		32,2	55,5	10,8			27,6	21,5	27,7	65,6	58,9	32,2	55,5	12,8		65,6	58,9	32,2	56,5	69,6
		23,3		72,8	53,2	38,8		7,2		38,8		7,2				28,3		72,8	53,2	38,8		7,2		72,8	53,2	35,8		72,8
				76,3	60,1	40,3		4,1		40,3		4,1						76,3	60,1	40,3		4,1		75,3	67,1	40,3		76,3

Таблица 1

Практическое занятие №5 (ОНД-3)