Потенциальное силовое поле

Силовое поле – часть пространства (или все пространство), в каждом пункте которого определена, тем или иным физическим законом, сила, действующая на материальную точку, находящуюся в этом пункте.

Силовое поле называется потенциальным (имеющим скалярный потенциал), если существует дважды непрерывно дифференцируемая силовая функция , такая, что в каждой точке поля , где символический вектор-оператор «набла» имеет следующий смысл:

.

Тогда работа силы при перемещении точки приложения силы из пункта 1 в пункт 2 равна (см. ч. 1, п. 2.1.7)

Работа определяется только начальным и конечным значениями силовой функции и не зависит от формы траектории. Работа на замкнутой траектории (контуре) равна нулю. Выражение для работы вектора силы определяет циркуляцию этого вектора вдоль траектории точки приложения силы. В потенциальном поле циркуляция силы вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

.

Согласно формуле Стокса циркуляция вектора вдоль замкнутого контура, стягивающего поверхность малой величины (так что ее можно считать плоской), равна интегралу по площади от проекции ротора вектора на нормаль к этой поверхности (ориентированную соответственно направлению обхода контура):

.

Потенциальное силовое поле, задаваемое скалярным потенциалом , называется также безвихревым, поскольку в нем выполняется условие (равенство - известное в теории поля тождество).

Ротор (вихрь, он же ) вектора определяется формулой

 

Поверхности вида , на которых значение силовой функции постоянно и равно заданной константе С, называются поверхностями уровня, или эквипотенциальными поверхностями.